Номер 35.28, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.28, страница 137.

35.28 Докажите, что $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$.

Для того чтобы доказать равенство $2f(x) = f(128x)$, если $f(x) = \sqrt[7]{x}$, необходимо подставить данную функцию в левую и правую части равенства и убедиться, что они тождественно равны.

Рассмотрим левую часть равенства:

$2f(x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

Теперь рассмотрим правую часть. Для нахождения $f(128x)$ подставим в исходную функцию вместо аргумента $x$ выражение $128x$:

$f(128x) = \sqrt[7]{128x}$

Преобразуем полученное выражение, используя свойство корня от произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{x}$

Вычислим корень седьмой степени из 128. Так как $2^7 = 128$, то $\sqrt[7]{128} = 2$.

Подставим полученный результат в выражение для правой части:

$f(128x) = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

Сравнив выражения для левой и правой частей, видим, что они равны:

$2 \cdot \sqrt[7]{x} = 2 \cdot \sqrt[7]{x}$

Это подтверждает истинность исходного равенства.

Ответ: Доказательство проведено путем преобразования обеих частей исходного равенства. Левая часть $2f(x)$ равна $2\sqrt[7]{x}$. Правая часть $f(128x)$ преобразуется к виду $\sqrt[7]{128x} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{x} = 2\sqrt[7]{x}$. Так как $2\sqrt[7]{x} = 2\sqrt[7]{x}$, тождество доказано.