Номер 35.27, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.27, страница 137.

35.27 Решите уравнение:

a) $ \sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0; $

б) $ \sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0; $

в) $ \sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0; $

г) $ \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0. $

а) $\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[6]{x} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня четной степени $\sqrt[6]{x}$, поэтому $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 2t = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t(t - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) Если $t = 0$, то $\sqrt[6]{x} = 0$, откуда $x = 0^6 = 0$.
2) Если $t = 2$, то $\sqrt[6]{x} = 2$, откуда $x = 2^6 = 64$.
Оба значения $x=0$ и $x=64$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $0; 64$.

б) $\sqrt{x} - 5\sqrt[4]{x} + 6 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$, так как подкоренное выражение корня четной степени не может быть отрицательным.
Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, при этом $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 5t + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$ (поскольку $2+3=5$ и $2 \cdot 3=6$).
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Произведем обратную замену:
1) Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$, откуда $x = 2^4 = 16$.
2) Если $t = 3$, то $\sqrt[4]{x} = 3$, откуда $x = 3^4 = 81$.
Оба значения $x=16$ и $x=81$ принадлежат ОДЗ.
Ответ: $16; 81$.

в) $\sqrt[6]{x} + 2\sqrt[3]{x} - 1 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt[6]{x}$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t + 2t^2 - 1 = 0$
Запишем в стандартном виде: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$
$t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
$t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_2 = \frac{1}{2}$, так как $t_1 = -1 < 0$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$
$x = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.
Значение $x=\frac{1}{64}$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{64}$.

г) $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия корней четных степеней.
Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t^2 + 2t - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$ (поскольку $1 + (-3) = -2$ и $1 \cdot (-3) = -3$).
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только корень $t_1 = 1$. Корень $t_2 = -3$ является посторонним.
Произведем обратную замену:
$\sqrt[8]{x} = 1$
$x = 1^8 = 1$.
Значение $x=1$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $1$.