Номер 35.23, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.23, страница 136.

35.23 a) $ \sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}; $

б) $ \sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}; $

в) $ \sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}; $

г) $ \sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}. $

а) $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}$. Для выполнения деления необходимо привести корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей корней 4 и 2 равно 4. Представим второй корень ($\sqrt{a}$ - это корень 2-й степени) как корень 4-й степени: $\sqrt{a} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$. Теперь выполним деление корней с одинаковым показателем: $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{\frac{a^3}{a^2}} = \sqrt[4]{a^{3-2}} = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

б) $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 12 и 6 равно 12. Преобразуем второй корень: $\sqrt[6]{ab^4} = \sqrt[6 \cdot 2]{(ab^4)^2} = \sqrt[12]{a^2b^8}$. Выполним деление: $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[12]{a^2b^8} = \sqrt[12]{\frac{a^2b^3}{a^2b^8}} = \sqrt[12]{a^{2-2}b^{3-8}} = \sqrt[12]{a^0b^{-5}} = \sqrt[12]{b^{-5}}$. Выражение можно записать в виде $\sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.
Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.

в) $\sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для 6 и 4 равно 12. Преобразуем оба корня к показателю 12: $\sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6 \cdot 2]{a^{5 \cdot 2}} = \sqrt[12]{a^{10}}$. $\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^3}$. Теперь выполним деление: $\sqrt[12]{a^{10}} : \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{\frac{a^{10}}{a^3}} = \sqrt[12]{a^{10-3}} = \sqrt[12]{a^7}$.
Ответ: $\sqrt[12]{a^7}$.

г) $\sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}$. Приведем корни к общему показателю. НОК для 4 и 5 равно 20. Преобразуем оба корня к показателю 20: $\sqrt[4]{a^3b^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{(a^3b^5)^5} = \sqrt[20]{a^{3 \cdot 5}b^{5 \cdot 5}} = \sqrt[20]{a^{15}b^{25}}$. $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5 \cdot 4]{(ab)^4} = \sqrt[20]{a^4b^4}$. Выполним деление: $\frac{\sqrt[20]{a^{15}b^{25}}}{\sqrt[20]{a^4b^4}} = \sqrt[20]{\frac{a^{15}b^{25}}{a^4b^4}} = \sqrt[20]{a^{15-4}b^{25-4}} = \sqrt[20]{a^{11}b^{21}}$. Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt[20]{a^{11}b^{21}} = \sqrt[20]{a^{11} \cdot b^{20} \cdot b^1} = \sqrt[20]{b^{20}} \cdot \sqrt[20]{a^{11}b} = b\sqrt[20]{a^{11}b}$.
Ответ: $b\sqrt[20]{a^{11}b}$.