Номер 35.30, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.30, страница 137.

35.30 Постройте график функции:

а) $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$;

б) $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$;

в) $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$;

г) $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$.

Общее правило для корней четной степени гласит, что $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 4 (четное число). Следовательно, мы можем упростить функцию:

$y = |x - 2|$.

График этой функции — это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси Ох. Он представляет собой два луча, сходящихся в одной точке (вершине).

• Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x - 2 = 0 \implies x = 2$. Координаты вершины: $(2, 0)$.
• Если $x \ge 2$, модуль раскрывается как $y = x - 2$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 2)$.
• Если $x < 2$, модуль раскрывается как $y = -(x - 2) = 2 - x$. Это луч, выходящий из точки $(2, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{(x - 2)^4}$ — это график $y = |x - 2|$, который является "галочкой" с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$.

Общее правило для корней нечетной степени гласит, что $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня и степень равны 5 (нечетное число). Таким образом, функция упрощается до:

$y = 2 - x$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек:

• При $x = 0$, $y = 2 - 0 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• При $x = 2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График функции $y = \sqrt[5]{(2 - x)^5}$ — это прямая $y = 2 - x$, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$.

Поскольку показатель корня и степень подкоренного выражения равны 3 (нечетное число), то, как и в предыдущем пункте, $\sqrt[3]{a^3} = a$. Упрощаем функцию:

$y = x + 1$.

Это также линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем две точки для построения:

• При $x = 0$, $y = 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{(x + 1)^3}$ — это прямая $y = x + 1$, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

г) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$.

Показатель корня и степень равны 6 (четное число), поэтому, как и в пункте а), $\sqrt[6]{a^6} = |a|$. Упрощаем функцию:

$y = |3 - x|$.

Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, можем записать $y = |3 - x| = |-(x - 3)| = |x - 3|$.

График этой функции — это график модуля $y = |x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ох.

• Вершина графика находится в точке, где $x - 3 = 0 \implies x = 3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.
• Если $x \ge 3$, то $y = x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 1)$.
• Если $x < 3$, то $y = -(x - 3) = 3 - x$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[6]{(3 - x)^6}$ — это график $y = |x - 3|$, который является "галочкой" с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вверх.