Номер 35.29, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.29, страница 137.

35.29 Докажите, что $2f(x) = f(32x)$, если $f(x) = 2\sqrt[5]{x}$.

Чтобы доказать утверждение $2f(x) = f(32x)$ для функции $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$, необходимо преобразовать левую и правую части этого равенства и показать, что они тождественно равны.

1. Преобразование левой части равенства

Левая часть имеет вид $2f(x)$. Подставим в нее заданную функцию $f(x)$: $2f(x) = 2 \cdot 2^{\sqrt[5]{x}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, где $a=2$, $m=1$ и $n=\sqrt[5]{x}$, мы получаем: $2^1 \cdot 2^{\sqrt[5]{x}} = 2^{1 + \sqrt[5]{x}}$

2. Преобразование правой части равенства

Правая часть имеет вид $f(32x)$. Найдем ее, подставив в функцию $f(x)$ аргумент $32x$: $f(32x) = 2^{\sqrt[5]{32x}}$

Упростим показатель степени, используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$: $\sqrt[5]{32x} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{x}$

Так как $32 = 2^5$, то $\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$. Тогда: $\sqrt[5]{32x} = 2\sqrt[5]{x}$

Таким образом, правая часть равенства преобразуется к виду: $f(32x) = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

3. Сравнение результатов

Теперь приравняем полученные выражения для левой и правой частей: $2^{1 + \sqrt[5]{x}} = 2^{2\sqrt[5]{x}}$

Равенство степеней с одинаковым основанием (не равным 0, 1 или -1) возможно только тогда, когда равны их показатели: $1 + \sqrt[5]{x} = 2\sqrt[5]{x}$

Решим полученное уравнение: $1 = 2\sqrt[5]{x} - \sqrt[5]{x}$ $1 = \sqrt[5]{x}$

Возведя обе части в пятую степень, найдем $x$: $x = 1^5 = 1$

Таким образом, исходное равенство $2f(x) = f(32x)$ верно только при $x=1$, а не для всех $x$ из области определения функции. Это означает, что данное утверждение не является тождеством.

Ответ: Доказать утверждение невозможно, так как оно не является тождеством. Равенство $2f(x) = f(32x)$ для функции $f(x) = 2^{\sqrt[5]{x}}$ выполняется только при $x=1$.