Номер 35.22, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.22, страница 136.

35.22 а) $ \sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab}; $

б) $ \sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}; $

В) $ \sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}; $

Г) $ \sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}. $

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Общий показатель для корней $\sqrt[3]{ab}$ и $\sqrt[6]{4ab}$ – это наименьшее общее кратное (НОК) их показателей, то есть НОК(3, 6) = 6.
Приведем первый корень к показателю 6. Для этого нужно показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить на 2 ($6/3=2$):
$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3 \cdot 2]{(ab)^2} = \sqrt[6]{a^2b^2}$.
Теперь, когда у корней одинаковые показатели, мы можем их перемножить, умножив их подкоренные выражения:
$\sqrt[6]{a^2b^2} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[6]{a^2b^2 \cdot 4ab}$.
Упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\sqrt[6]{4 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt[6]{4a^{2+1}b^{2+1}} = \sqrt[6]{4a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{4a^3b^3}$.

б) Дано выражение $\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$. Наименьшее общее кратное показателей корней 5 и 10 равно 10.
Приведем первый корень к показателю 10. Дополнительный множитель для показателя равен $10/5=2$:
$\sqrt[5]{a^4b^3} = \sqrt[5 \cdot 2]{(a^4b^3)^2} = \sqrt[10]{a^{4 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}} = \sqrt[10]{a^8b^6}$.
Теперь умножим корни с одинаковым показателем 10:
$\sqrt[10]{a^8b^6} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[10]{(a^8b^6) \cdot (a^5b^2)} = \sqrt[10]{a^{8+5}b^{6+2}} = \sqrt[10]{a^{13}b^8}$.
Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Так как степень $a$ (13) больше показателя корня (10), мы можем вынести $a$ в первой степени:
$\sqrt[10]{a^{13}b^8} = \sqrt[10]{a^{10} \cdot a^3 \cdot b^8} = a\sqrt[10]{a^3b^8}$.
Ответ: $a\sqrt[10]{a^3b^8}$.

в) В выражении $\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}$ показатели корней равны 6 и 3. Наименьшее общее кратное для них – НОК(6, 3) = 6.
Приведем второй корень к показателю 6. Дополнительный множитель для показателя равен $6/3=2$:
$\sqrt[3]{5a^3b^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5a^3b^4)^2} = \sqrt[6]{5^2(a^3)^2(b^4)^2} = \sqrt[6]{25a^6b^8}$.
Выполним умножение корней с показателем 6:
$\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[6]{25a^6b^8} = \sqrt[6]{(5ab^2) \cdot (25a^6b^8)} = \sqrt[6]{(5 \cdot 25)a^{1+6}b^{2+8}} = \sqrt[6]{125a^7b^{10}}$.
Упростим, вынеся множители, степени которых больше или равны показателю корня, из-под знака корня:
$\sqrt[6]{125a^7b^{10}} = \sqrt[6]{125 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b^4} = ab\sqrt[6]{125ab^4}$.
Ответ: $ab\sqrt[6]{125ab^4}$.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}$. Показатели корней – 8 и 6. Найдем их наименьшее общее кратное: НОК(8, 6) = 24.
Приведем оба корня к общему показателю 24.
Для первого корня дополнительный множитель равен $24 / 8 = 3$:
$\sqrt[8]{6xz} = \sqrt[8 \cdot 3]{(6xz)^3} = \sqrt[24]{6^3x^3z^3} = \sqrt[24]{216x^3z^3}$.
Для второго корня дополнительный множитель равен $24 / 6 = 4$:
$\sqrt[6]{xz^5} = \sqrt[6 \cdot 4]{(xz^5)^4} = \sqrt[24]{x^4(z^5)^4} = \sqrt[24]{x^4z^{20}}$.
Теперь перемножим полученные корни:
$\sqrt[24]{216x^3z^3} \cdot \sqrt[24]{x^4z^{20}} = \sqrt[24]{(216x^3z^3) \cdot (x^4z^{20})} = \sqrt[24]{216x^{3+4}z^{3+20}} = \sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.
Поскольку степени всех множителей под корнем (7 и 23) меньше показателя корня 24, дальнейшее упрощение (вынесение из-под корня) невозможно.
Ответ: $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.