Номер 35.18, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.18, страница 136.

35.18 a) $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$;

б) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$;

в) $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$;

г) $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$.

а) Для того чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$, необходимо привести все корни к одному показателю. Наименьшим общим кратным для показателей 2, 3 и 6 является 6. Приведем каждый корень к 6-й степени:

$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$
$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$
$\sqrt[6]{7}$ остается без изменений.

Теперь сравним подкоренные выражения: $7 < 16 < 27$. Поскольку функция $y=\sqrt[n]{x}$ (при $n>1$) является возрастающей для $x \ge 0$, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Таким образом, $\sqrt[6]{7} < \sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{27}$, что соответствует неравенству $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$. Сначала упростим выражение $\sqrt[4]{4}$. Так как $4 = 2^2$, то $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$. Таким образом, задача сводится к сравнению двух различных чисел: $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Приведем $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для 2 и 3 это 6.
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$

Сравнивая подкоренные выражения, получаем $8 < 9$. Отсюда следует, что $\sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$, то есть $\sqrt{2} < \sqrt[3]{3}$. Учитывая, что $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4}$, окончательно получаем: $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

в) Для сравнения чисел $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$ приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 2, 4 и 8 равно 8.

Выполним преобразования:
$\sqrt{6} = \sqrt[2 \cdot 4]{6^4} = \sqrt[8]{1296}$
$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 2]{17^2} = \sqrt[8]{289}$
$\sqrt[8]{40}$ остается без изменений.

Сравним подкоренные выражения: $40 < 289 < 1296$. Следовательно, $\sqrt[8]{40} < \sqrt[8]{289} < \sqrt[8]{1296}$, что означает $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.

г) Сравним числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$. Приведем их к общему показателю корня, который равен наименьшему общему кратному показателей 5, 3 и 15, то есть 15.

Приводим корни к 15-й степени:
$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$
$\sqrt[15]{100}$ остается без изменений.

Сравнивая подкоренные выражения, имеем $27 < 32 < 100$. Отсюда следует, что $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{100}$, а значит $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.
Ответ: $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.