Номер 35.17, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.17, страница 136.

Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:

35.17 а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$;

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$;

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$;

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}.

а) Чтобы привести радикалы $ \sqrt[3]{2} $ и $ \sqrt[6]{3} $ к одинаковому показателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их показателей, то есть чисел 3 и 6.

НОК(3, 6) = 6.

Следовательно, общим показателем корня будет 6. Для приведения радикалов к этому показателю воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k} $, где показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножаются на одно и то же натуральное число.

Для первого радикала $ \sqrt[3]{2} $ дополнительный множитель для показателя корня равен $ 6 \div 3 = 2 $. Возведем подкоренное выражение в степень 2:

$ \sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4} $.

Второй радикал $ \sqrt[6]{3} $ уже имеет показатель 6, поэтому он остается без изменений.

В результате получаем два радикала с одинаковым показателем 6.

Ответ: $ \sqrt[6]{4} $ и $ \sqrt[6]{3} $.

б) Даны радикалы $ \sqrt[4]{5} $ и $ \sqrt[3]{9} $. Найдем НОК их показателей 4 и 3.

НОК(4, 3) = 12.

Общий показатель корня — 12. Приведем каждый радикал к этому показателю.

Для первого радикала $ \sqrt[4]{5} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 4 = 3 $:

$ \sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125} $.

Для второго радикала $ \sqrt[3]{9} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 3 = 4 $:

$ \sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \cdot 4]{9^4} = \sqrt[12]{6561} $.

Таким образом, мы привели радикалы к общему показателю 12.

Ответ: $ \sqrt[12]{125} $ и $ \sqrt[12]{6561} $.

в) Даны радикалы $ \sqrt[4]{7} $ и $ \sqrt[12]{8} $. Найдем НОК их показателей 4 и 12.

НОК(4, 12) = 12.

Общий показатель корня — 12. Приведем первый радикал к этому показателю.

Для радикала $ \sqrt[4]{7} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 4 = 3 $:

$ \sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343} $.

Второй радикал $ \sqrt[12]{8} $ уже имеет показатель 12, поэтому он остается без изменений.

В результате получаем два радикала с одинаковым показателем 12.

Ответ: $ \sqrt[12]{343} $ и $ \sqrt[12]{8} $.

г) Даны радикалы $ \sqrt[3]{3} $ и $ \sqrt[5]{2} $. Найдем НОК их показателей 3 и 5.

НОК(3, 5) = 15.

Общий показатель корня — 15. Приведем каждый радикал к этому показателю.

Для первого радикала $ \sqrt[3]{3} $ дополнительный множитель равен $ 15 \div 3 = 5 $:

$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243} $.

Для второго радикала $ \sqrt[5]{2} $ дополнительный множитель равен $ 15 \div 5 = 3 $:

$ \sqrt[5]{2} = \sqrt[5 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[15]{8} $.

Таким образом, мы привели радикалы к общему показателю 15.

Ответ: $ \sqrt[15]{243} $ и $ \sqrt[15]{8} $.