Номер 35.13, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.13, страница 135.

Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:

35.13 а) $\sqrt[4]{x^2}$;
б) $\sqrt[6]{y^4}$;
в) $\sqrt[10]{a^5}$;
г) $\sqrt[24]{n^{16}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{x^2}$ используется основное свойство корня: если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Это можно записать в виде формулы $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $a > 0$).
В нашем случае показатель корня равен 4, а показатель степени подкоренного выражения равен 2. Мы можем разделить оба показателя на их наибольший общий делитель, который равен 2.
$\sqrt[4]{x^2} = \sqrt[4/2]{x^{2/2}} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt{x}$.
Также можно перейти к степеням с рациональным показателем:
$\sqrt[4]{x^2} = x^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$.
Поскольку по условию переменная $x$ принимает только положительные значения, оба метода корректны.
Ответ: $\sqrt{x}$

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{y^4}$. Показатель корня равен 6, а показатель степени подкоренного выражения — 4. Наибольший общий делитель для 6 и 4 равен 2. Разделим оба показателя на 2:
$\sqrt[6]{y^4} = \sqrt[6/2]{y^{4/2}} = \sqrt[3]{y^2}$.
Используя степени с рациональным показателем, получим тот же результат:
$\sqrt[6]{y^4} = y^{\frac{4}{6}} = y^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{y^2}$.
Условие $y > 0$ обеспечивает справедливость преобразований.
Ответ: $\sqrt[3]{y^2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[10]{a^5}$. Показатель корня — 10, показатель степени под корнем — 5. Наибольший общий делитель этих чисел равен 5. Сократим оба показателя на 5:
$\sqrt[10]{a^5} = \sqrt[10/5]{a^{5/5}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}$.
Через степени с рациональным показателем:
$\sqrt[10]{a^5} = a^{\frac{5}{10}} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.
Так как $a > 0$, упрощение является верным.
Ответ: $\sqrt{a}$

г) Упростим выражение $\sqrt[24]{n^{16}}$. Показатель корня равен 24, а показатель степени подкоренного выражения — 16. Найдем наибольший общий делитель для 24 и 16. Это число 8. Разделим оба показателя на 8:
$\sqrt[24]{n^{16}} = \sqrt[24/8]{n^{16/8}} = \sqrt[3]{n^2}$.
Проверим с помощью степеней с рациональным показателем:
$\sqrt[24]{n^{16}} = n^{\frac{16}{24}} = n^{\frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8}} = n^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{n^2}$.
Так как по условию $n > 0$, результат корректен.
Ответ: $\sqrt[3]{n^2}$