Номер 35.16, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.16, страница 135.

35.16 а) $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$;

в) $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$;

г) $\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{10}}{243c^{15}}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$ воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ и корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$.

$\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}} = \frac{\sqrt{49a^4}}{\sqrt{169b^2}} = \frac{\sqrt{49}\sqrt{a^4}}{\sqrt{169}\sqrt{b^2}}$

Теперь извлечем корни из каждого множителя:

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно)

$\sqrt{169} = 13$

$\sqrt{b^2} = |b|$ (поскольку корень квадратный из квадрата числа есть его модуль; $b \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{7a^2}{13|b|}$

Ответ: $\frac{7a^2}{13|b|}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$ воспользуемся свойством корня n-ой степени из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ и из произведения $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$.

$\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{16a^4b^8}}{\sqrt[4]{c^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{16}\sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{b^8}}{\sqrt[4]{c^{12}}}$

Извлечем корни из каждого множителя, учитывая, что корень четной степени (4) из выражения в четной степени равен модулю основания этой степени, то есть $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

$\sqrt[4]{a^4} = |a|$

$\sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} = |b^2| = b^2$ (поскольку $b^2$ всегда неотрицательно)

$\sqrt[4]{c^{12}} = \sqrt[4]{(c^3)^4} = |c^3|$ (здесь $c \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

Ответ: $\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$ используем те же свойства, что и в предыдущих пунктах. Особенность в том, что корень нечетной степени (3) извлекается из любого числа, и $\sqrt[2k+1]{x^{2k+1}} = x$, поэтому знак модуля не требуется.

$\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}} = \frac{\sqrt[3]{27a^6}}{\sqrt[3]{64b^3}} = \frac{\sqrt[3]{27}\sqrt[3]{a^6}}{\sqrt[3]{64}\sqrt[3]{b^3}}$

Извлечем корни из каждого множителя:

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{a^6} = \sqrt[3]{(a^2)^3} = a^2$

$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$

$\sqrt[3]{b^3} = b$ (здесь $b \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{3a^2}{4b}$

Ответ: $\frac{3a^2}{4b}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{10}}{243c^{15}}}$. Корень нечетной степени (5), поэтому, как и в предыдущем примере, знак модуля не потребуется.

$\sqrt[5]{\frac{32a^{40}b^{10}}{243c^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{32a^{40}b^{10}}}{\sqrt[5]{243c^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{32}\sqrt[5]{a^{40}}\sqrt[5]{b^{10}}}{\sqrt[5]{243}\sqrt[5]{c^{15}}}$

Извлечем корни из каждого множителя:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

$\sqrt[5]{a^{40}} = \sqrt[5]{(a^8)^5} = a^8$

$\sqrt[5]{b^{10}} = \sqrt[5]{(b^2)^5} = b^2$

$\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3$

$\sqrt[5]{c^{15}} = \sqrt[5]{(c^3)^5} = c^3$ (здесь $c \ne 0$)

Собираем все вместе:

$\frac{2a^8b^2}{3c^3}$

Ответ: $\frac{2a^8b^2}{3c^3}$