Номер 35.14, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §35. Свойства корня n-й степени - номер 35.14, страница 135.

Условие.

35.14 а) $\sqrt[4]{b^8}$;

б) $\sqrt{l^6}$;

в) $\sqrt[5]{d^{15}}$;

г) $\sqrt[3]{t^{12}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[4]{b^8}$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени, которое можно записать в виде формулы $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. В данном случае $n=4$ и $m=8$.

Применим это свойство: $ \sqrt[4]{b^8} = b^{\frac{8}{4}} = b^2 $

Другой способ решения — представить подкоренное выражение в виде степени с показателем, равным показателю корня: $ b^8 = (b^2)^4 $

Тогда выражение примет вид: $ \sqrt[4]{b^8} = \sqrt[4]{(b^2)^4} $

Используем свойство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$. В нашем случае $n=4$ (четное), а выражение под знаком корня — это $(b^2)^4$. Следовательно: $ \sqrt[4]{(b^2)^4} = |b^2| $

Поскольку любое число в квадрате, $b^2$, является неотрицательным ($b^2 \ge 0$), модуль можно опустить: $ |b^2| = b^2 $

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $b^2$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt{l^6}$ нужно учесть, что квадратный корень является корнем четной степени ($n=2$).

Представим подкоренное выражение $l^6$ в виде квадрата другого выражения: $ l^6 = (l^3)^2 $

Тогда исходное выражение можно переписать так: $ \sqrt{l^6} = \sqrt{(l^3)^2} $

При извлечении корня четной степени из выражения в той же степени необходимо использовать модуль, так как результат арифметического корня должен быть неотрицательным. Используем правило $\sqrt{x^2} = |x|$: $ \sqrt{(l^3)^2} = |l^3| $

Важно отметить, что ответ $l^3$ был бы неверным, так как $l^3$ может быть отрицательным (например, если $l = -2$, то $l^3 = -8$), в то время как значение квадратного корня не может быть отрицательным. Проверим: пусть $l=-2$. $ \sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8 $. Наш результат: $|(-2)^3| = |-8| = 8$. Результаты совпадают.

Ответ: $|l^3|$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt[5]{d^{15}}$ воспользуемся свойством корня $n$-ой степени: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

В данном случае показатель корня $n=5$ (нечетный), а показатель степени под корнем $m=15$. $ \sqrt[5]{d^{15}} = d^{\frac{15}{5}} = d^3 $

Также можно представить подкоренное выражение в виде степени с показателем 5: $ d^{15} = (d^3)^5 $

Тогда: $ \sqrt[5]{d^{15}} = \sqrt[5]{(d^3)^5} $

Для нечетной степени корня справедливо тождество $\sqrt[n]{x^n} = x$ (модуль не нужен, так как корень нечетной степени может быть и отрицательным). $ \sqrt[5]{(d^3)^5} = d^3 $

Ответ: $d^3$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{t^{12}}$. Показатель корня $n=3$ является нечетным числом.

Воспользуемся свойством представления корня в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. $ \sqrt[3]{t^{12}} = t^{\frac{12}{3}} = t^4 $

Альтернативный способ — представить подкоренное выражение в виде куба: $ t^{12} = (t^4)^3 $

Подставляем в исходное выражение: $ \sqrt[3]{t^{12}} = \sqrt[3]{(t^4)^3} $

Поскольку корень нечетной степени ($n=3$), применяем свойство $\sqrt[n]{x^n} = x$: $ \sqrt[3]{(t^4)^3} = t^4 $

Результат $t^4$ всегда неотрицателен, что соответствует тому, что подкоренное выражение $t^{12}$ также всегда неотрицательно.

Ответ: $t^4$