Номер 35.20, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.20, страница 136.

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}:

35.20 a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2};$

б) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3};$

в) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3};$

г) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3}.$

а) Чтобы преобразовать произведение корней $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} $ к виду $ \sqrt[n]{A} $, необходимо привести их к общему показателю. Показатели корней — 2 и 4. Наименьшее общее кратное (НОК) для 2 и 4 равно 4.
Приведем корень $ \sqrt{2} $ к показателю 4, используя свойство $ \sqrt[m]{b} = \sqrt[m \cdot k]{b^k} $:
$ \sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt[4]{4} $.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем:
$ \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4 \cdot 2} = \sqrt[4]{8} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{8} $.

б) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3} $. Показатели корней — 3 и 6. НОК(3, 6) = 6.
Приведем корень $ \sqrt[3]{3} $ к показателю 6:
$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.
Умножим корни:
$ \sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{9 \cdot 3} = \sqrt[6]{27} $.
Полученное выражение можно упростить. Представим подкоренное выражение в виде степени: $ 27 = 3^3 $.
$ \sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} $.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 3:
$ \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6/3]{3^{3/3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $.

в) Рассмотрим выражение $ \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3} $. Показатели корней — 2 и 3. НОК(2, 3) = 6.
Приведем оба корня к общему показателю 6:
$ \sqrt{2} = \sqrt[2]{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} $.
$ \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9} $.
Теперь выполним умножение:
$ \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72} $.
Ответ: $ \sqrt[6]{72} $.

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3} $. Показатели корней — 4 и 6. НОК(4, 6) = 12.
Приведем оба корня к общему показателю 12:
$ \sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{8} $.
$ \sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^{1 \cdot 2}} = \sqrt[12]{3^2} = \sqrt[12]{9} $.
Теперь выполним умножение:
$ \sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{8 \cdot 9} = \sqrt[12]{72} $.
Ответ: $ \sqrt[12]{72} $.