Номер 35.21, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.21, страница 136.

35.21 a) $\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt{3b}$;

б) $\sqrt{2a} \cdot \sqrt[6]{4a^5}$;

в) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a^5}$;

г) $\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[6]{3y^3}$.

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. В данном случае имеем корень четвертой степени $\sqrt[4]{3b^3}$ и корень второй степени (квадратный корень) $\sqrt{3b}$. Наименьшее общее кратное показателей 4 и 2 равно 4.
Приведем второй множитель к показателю 4:
$\sqrt{3b} = \sqrt[2 \cdot 2]{(3b)^2} = \sqrt[4]{9b^2}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем:
$\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt[4]{9b^2} = \sqrt[4]{3b^3 \cdot 9b^2} = \sqrt[4]{27b^5}$.
Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Заметим, что $b^5 = b^4 \cdot b$. Область допустимых значений для исходного выражения определяется условиями $3b^3 \ge 0$ и $3b \ge 0$, что равносильно $b \ge 0$.
$\sqrt[4]{27b^5} = \sqrt[4]{27 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{27b} = |b|\sqrt[4]{27b}$.
Поскольку $b \ge 0$, то $|b| = b$.
Таким образом, $\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt{3b} = b\sqrt[4]{27b}$.
Ответ: $b\sqrt[4]{27b}$.

б) В выражении $\sqrt{2a} \cdot \sqrt[6]{4a^5}$ показатели корней равны 2 и 6. Наименьшее общее кратное для них равно 6.
Приведем первый множитель к показателю 6:
$\sqrt{2a} = \sqrt[2 \cdot 3]{(2a)^3} = \sqrt[6]{8a^3}$.
Теперь умножим корни:
$\sqrt[6]{8a^3} \cdot \sqrt[6]{4a^5} = \sqrt[6]{8a^3 \cdot 4a^5} = \sqrt[6]{32a^8}$.
Вынесем множитель из-под знака корня. Учтем, что $a^8 = a^6 \cdot a^2$. Область допустимых значений: $2a \ge 0$ и $4a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.
$\sqrt[6]{32a^8} = \sqrt[6]{32 \cdot a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{32a^2} = |a|\sqrt[6]{32a^2}$.
Так как $a \ge 0$, то $|a| = a$.
В результате получаем $a\sqrt[6]{32a^2}$.
Ответ: $a\sqrt[6]{32a^2}$.

в) В выражении $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a^5}$ показатели корней равны 2 и 6. Наименьший общий показатель - 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.
Перемножим корни:
$\sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6]{a^3 \cdot a^5} = \sqrt[6]{a^8}$.
Упростим выражение. Область допустимых значений: $a \ge 0$.
$\sqrt[6]{a^8} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{a^2} = |a|\sqrt[6]{a^2}$.
Поскольку $a \ge 0$, то $|a| = a$. Получаем $a\sqrt[6]{a^2}$.
Корень $\sqrt[6]{a^2}$ можно упростить, сократив показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель 2:
$\sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6/2]{a^{2/2}} = \sqrt[3]{a}$.
Окончательный результат: $a\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

г) В выражении $\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[6]{3y^3}$ показатели корней равны 3 и 6. Наименьший общий показатель - 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{y} = \sqrt[3 \cdot 2]{y^2} = \sqrt[6]{y^2}$.
Теперь выполним умножение:
$\sqrt[6]{y^2} \cdot \sqrt[6]{3y^3} = \sqrt[6]{y^2 \cdot 3y^3} = \sqrt[6]{3y^5}$.
Область допустимых значений определяется вторым множителем: $3y^3 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
В выражении $\sqrt[6]{3y^5}$ степень подкоренного выражения (5) меньше показателя корня (6), поэтому дальнейшее упрощение (вынесение множителя из-под знака корня) невозможно.
Ответ: $\sqrt[6]{3y^5}$.