Номер 35.25, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.25, страница 136.

35.25 Решите уравнение:

a) $ \frac{1}{2} \sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}; $

б) $ \sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6. $

а) $\frac{1}{2}\sqrt[3]{5x} + 13 + \frac{\sqrt[3]{5x}}{5} = 2\sqrt[3]{5x}$

Для решения данного уравнения введем замену, чтобы упростить его вид. Пусть $y = \sqrt[3]{5x}$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{1}{2}y + 13 + \frac{y}{5} = 2y$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $y$. Перенесем все слагаемые, содержащие $y$, в одну часть уравнения, а числовые значения — в другую.

$13 = 2y - \frac{1}{2}y - \frac{1}{5}y$

Чтобы выполнить вычитание, приведем все коэффициенты при $y$ к общему знаменателю 10.

$13 = \frac{20}{10}y - \frac{5}{10}y - \frac{2}{10}y$

$13 = \frac{20 - 5 - 2}{10}y$

$13 = \frac{13}{10}y$

Теперь выразим $y$:

$y = 13 \cdot \frac{10}{13}$

$y = 10$

Теперь, когда мы нашли значение $y$, вернемся к нашей замене $y = \sqrt[3]{5x}$:

$\sqrt[3]{5x} = 10$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{5x})^3 = 10^3$

$5x = 1000$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{1000}{5}$

$x = 200$

Ответ: $200$.

б) $\sqrt[4]{2x} + \sqrt[4]{32x} + \sqrt[4]{162x} = 6$

В данном уравнении переменная $x$ находится под знаком корня четвертой степени. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Упростим слагаемые в левой части уравнения, вынося множители из-под знака корня:

$\sqrt[4]{32x} = \sqrt[4]{16 \cdot 2x} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 2x} = 2\sqrt[4]{2x}$

$\sqrt[4]{162x} = \sqrt[4]{81 \cdot 2x} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2x} = 3\sqrt[4]{2x}$

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{2x} + 2\sqrt[4]{2x} + 3\sqrt[4]{2x} = 6$

Сложим подобные члены в левой части:

$(1 + 2 + 3)\sqrt[4]{2x} = 6$

$6\sqrt[4]{2x} = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$\sqrt[4]{2x} = 1$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{2x})^4 = 1^4$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Полученное значение $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $\frac{1}{2}$.