Номер 35.12, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.12, страница 135.

35.12 а) $(\sqrt[3]{3a})^9$;

б) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$;

в) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$;

г) $(2\sqrt[3]{-3a^2})^5$.

а) Для решения используем свойство возведения корня в степень $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$ или, что эквивалентно, $(\sqrt[n]{x})^m = x^{m/n}$.
Первый способ: представим корень как степень с рациональным показателем.
$(\sqrt[3]{3a})^9 = ((3a)^{1/3})^9$
Применяем свойство возведения степени в степень $(x^p)^q = x^{p \cdot q}$:
$(3a)^{(1/3) \cdot 9} = (3a)^3$
Раскрываем скобки, используя свойство $(xy)^n = x^n y^n$:
$3^3 \cdot a^3 = 27a^3$
Ответ: $27a^3$

б) Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot (\sqrt[3]{a})^2$
Вычисляем и упрощаем каждый множитель:
$5^2 = 25$
$a^2$ остается без изменений.
$(\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt[3]{a^2}$
Собираем все вместе:
$25 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = 25a^2\sqrt[3]{a^2}$
Ответ: $25a^2\sqrt[3]{a^2}$

в) Применим свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt[3]{a^2})^2$
Вычисляем и упрощаем каждый множитель:
$(-5)^2 = 25$
$(\sqrt[3]{a^2})^2 = \sqrt[3]{(a^2)^2} = \sqrt[3]{a^4}$
Упростим корень, вынося множитель из-под его знака. Для этого представим подкоренное выражение $a^4$ в виде произведения $a^3 \cdot a$:
$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = a\sqrt[3]{a}$
Объединяем полученные результаты:
$25 \cdot a\sqrt[3]{a} = 25a\sqrt[3]{a}$
Ответ: $25a\sqrt[3]{a}$

г) Используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.
$(2\sqrt[3]{-3a^2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[3]{-3a^2})^5$
Вычисляем первый множитель: $2^5 = 32$.
Упростим второй множитель. Сначала вынесем минус из-под знака корня нечетной степени, используя свойство $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.
$(\sqrt[3]{-3a^2})^5 = (-\sqrt[3]{3a^2})^5$
Так как степень нечетная (5), минус сохраняется при возведении в степень:
$(-\sqrt[3]{3a^2})^5 = -(\sqrt[3]{3a^2})^5 = -\sqrt[3]{(3a^2)^5}$
Раскроем скобки под корнем:
$-\sqrt[3]{3^5 \cdot (a^2)^5} = -\sqrt[3]{243a^{10}}$
Вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим $243$ как $3^3 \cdot 3^2 = 27 \cdot 9$ и $a^{10}$ как $a^9 \cdot a$.
$-\sqrt[3]{27 \cdot 9 \cdot a^9 \cdot a} = -\sqrt[3]{(27a^9) \cdot 9a} = -(\sqrt[3]{27a^9} \cdot \sqrt[3]{9a}) = -(3a^3\sqrt[3]{9a}) = -3a^3\sqrt[3]{9a}$
Теперь умножим на первый множитель (32):
$32 \cdot (-3a^3\sqrt[3]{9a}) = -96a^3\sqrt[3]{9a}$
Ответ: $-96a^3\sqrt[3]{9a}$