Номер 35.10, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.10, страница 135.

Возведите в степень:

35.10 a) $ (\sqrt{3})^2; $

б) $ (\sqrt[n]{a})^n; $

в) $ (\sqrt[5]{7})^5; $

г) $ (\sqrt[p]{b})^p. $

Для решения всех пунктов используется основное свойство арифметического корня n-ой степени, которое гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n \ge 2$ справедливо равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это равенство следует непосредственно из определения корня n-ой степени: $\sqrt[n]{a}$ — это такое неотрицательное число, n-ая степень которого равна $a$. Также можно использовать представление корня в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$.

а)

Требуется возвести в квадрат выражение $\sqrt{3}$. Квадратный корень из числа 3 — это по определению такое число, квадрат которого равен 3.

Следовательно: $(\sqrt{3})^2 = 3$

Альтернативно, представим корень в виде степени с показателем $1/2$: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Тогда, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$: $(\sqrt{3})^2 = (3^{1/2})^2 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

б)

Это общий случай. Корень n-ой степени из числа $a$ по определению — это такое число, которое при возведении в степень $n$ дает в результате $a$.

$(\sqrt[n]{a})^n = a$

Данное равенство справедливо при условиях, что выражение $\sqrt[n]{a}$ определено (т.е. если $n$ — четное число, то $a \ge 0$).

Используя степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Тогда: $(\sqrt[n]{a})^n = (a^{1/n})^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$.

Ответ: a

в)

Данный пример является частным случаем предыдущего, где степень корня и показатель степени равны 5.

По определению корня пятой степени: $(\sqrt[5]{7})^5 = 7$

Используя степени с рациональным показателем: $\sqrt[5]{7} = 7^{1/5}$. Тогда: $(\sqrt[5]{7})^5 = (7^{1/5})^5 = 7^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

г)

Этот пример также иллюстрирует основное свойство корня, где степень корня и показатель степени равны $p$.

По определению корня p-ой степени из числа $b$: $(\sqrt[p]{b})^p = b$

Предполагается, что переменные $p$ и $b$ таковы, что выражение имеет смысл (например, $p$ — натуральное число, $p \ge 2$, и если $p$ — четное, то $b \ge 0$).

Используя степени с рациональным показателем: $\sqrt[p]{b} = b^{1/p}$. Тогда: $(\sqrt[p]{b})^p = (b^{1/p})^p = b^{\frac{1}{p} \cdot p} = b^1 = b$.

Ответ: b