Номер 35.3, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.3, страница 134.

35.3 a) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$;

б) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$;

в) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$;

г) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$.

а) $\sqrt[3]{24 \cdot 9}$

Для решения этого примера представим числа под корнем в виде произведения их простых множителей. Это поможет нам найти множители, которые можно извлечь из-под кубического корня.

Разложим число 24: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Разложим число 9: $9 = 3^2$.

Теперь перемножим эти разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{24 \cdot 9} = \sqrt[3]{(2^3 \cdot 3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}$.

Используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3^3} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

б) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$

Чтобы вычислить значение этого выражения, разложим подкоренные числа на простые множители. Наша цель — найти множители в пятой степени.

Разложение числа 48: $48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$.

Разложение числа 162: $162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$.

Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[5]{48 \cdot 162} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^4)} = \sqrt[5]{2^{4+1} \cdot 3^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5}$.

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3^5} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6

в) $\sqrt[3]{75 \cdot 45}$

Разложим числа 75 и 45 на простые множители для упрощения выражения под кубическим корнем.

Разложение числа 75: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$.

Разложение числа 45: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Перемножим множители под корнем:

$\sqrt[3]{75 \cdot 45} = \sqrt[3]{(3 \cdot 5^2) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \sqrt[3]{3^{1+2} \cdot 5^{2+1}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$.

Используем свойство корня из произведения, чтобы извлечь множители:

$\sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15

г) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$

Для вычисления значения корня четвертой степени, разложим подкоренные числа на простые множители.

Разложение числа 54: $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.

Разложение числа 24: $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители:

$\sqrt[4]{54 \cdot 24} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^{1+3} \cdot 3^{3+1}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем конечный результат:

$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: 6