Номер 35.2, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.2, страница 134.

35.2 a) $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$;

в) $\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}}$;

г) $\sqrt[5]{7 \frac{19}{32}}$.

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$ воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$

Теперь вычислим каждый корень по отдельности.

Найдём корень пятой степени из 243. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень даёт 243. Это число 3, так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$. Таким образом, $\sqrt[5]{243} = 3$.

Далее, найдём корень пятой степени из дроби $\frac{1}{32}$. Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем:

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$

Корень любой натуральной степени из 1 равен 1. Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Следовательно, $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$.

Наконец, перемножим полученные значения:

$3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{8}{125}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}}$

Найдём корень кубический (третьей степени) из числителя. Это число 2, поскольку $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Найдём корень кубический из знаменателя. Это число 5, поскольку $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Подставим найденные значения обратно в дробь:

$\frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}}$ применим свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[6]{64 \cdot \frac{1}{729}} = \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{729}}$

Вычислим каждый множитель отдельно.

Корень шестой степени из 64 равен 2, так как $2^6 = 64$.

Для вычисления корня $\sqrt[6]{\frac{1}{729}}$ используем свойство корня из дроби:

$\sqrt[6]{\frac{1}{729}} = \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{729}}$

Корень шестой степени из 1 равен 1. Корень шестой степени из 729 равен 3, так как $3^6 = 729$.

Таким образом, $\sqrt[6]{\frac{1}{729}} = \frac{1}{3}$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

г)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$, первым шагом преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$

Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$.

Воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$

Как мы уже выяснили в пункте а), корень пятой степени из 243 равен 3 ($3^5 = 243$).

И корень пятой степени из 32 равен 2 ($2^5 = 32$).

Подставляем найденные значения:

$\frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$