Номер 34.21, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.21, страница 133.

34.21 a) $y = \sqrt[4]{\frac{2x - 5}{4x + 8}} + \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x - 3}$

б) $y = \frac{\sqrt[6]{x^2 - 5x}}{2x + 2} - \sqrt{\frac{2x + 3}{x - 4}}$

а)

Область определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{2x-5}{4x+8}} + \frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x-3}$ находится из системы неравенств, которая учитывает все ограничения:

1. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным: $ \frac{2x-5}{4x+8} \ge 0 $

2. Выражение под квадратным корнем (тоже четная степень) должно быть неотрицательным: $ x^2+2x-3 \ge 0 $

3. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ x-3 \ne 0 $

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решение неравенства $\frac{2x-5}{4x+8} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x-5=0 \Rightarrow x = 2.5$
$4x+8=0 \Rightarrow x = -2$
Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=2.5$ включается в решение (нестрогое неравенство), а точка $x=-2$ исключается (знаменатель). Проверим знаки на интервалах:
- $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, $\frac{2(-3)-5}{4(-3)+8} = \frac{-11}{-4} > 0$. Интервал подходит.
- $(-2; 2.5]$: возьмем $x=0$, $\frac{-5}{8} < 0$. Интервал не подходит.
- $[2.5; +\infty)$: возьмем $x=3$, $\frac{2(3)-5}{4(3)+8} = \frac{1}{20} > 0$. Интервал подходит.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup [2.5; +\infty)$.

2. Решение неравенства $x^2+2x-3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1=-3$ и $x_2=1$.
График функции $f(x)=x^2+2x-3$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, функция неотрицательна при $x \le -3$ и при $x \ge 1$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

3. Условие $x-3 \ne 0$ дает нам $x \ne 3$.

Найдем пересечение всех решений.
Нам нужно найти $x$, удовлетворяющий всем трем условиям:
$x \in ((-\infty; -2) \cup [2.5; +\infty)) \cap ((-\infty; -3] \cup [1; +\infty)) \cap \{x \ne 3\}$.
Рассмотрим пересечение на числовой прямой.
- Пересечение интервала $(-\infty; -2)$ с множеством $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает $(-\infty; -3]$.
- Пересечение интервала $[2.5; +\infty)$ с множеством $(-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$ дает $[2.5; +\infty)$.
Теперь учтем условие $x \ne 3$.
Первый полученный интервал $(-\infty; -3]$ не содержит $x=3$.
Из второго интервала $[2.5; +\infty)$ нужно исключить точку $x=3$, что дает нам $[2.5; 3) \cup (3; +\infty)$.
Объединив результаты, получаем итоговую область определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [2.5; 3) \cup (3; +\infty)$.

---

б)

Область определения функции $y = \frac{\sqrt[6]{x^2-5x}}{2x+2} - \sqrt{\frac{2x+3}{x-4}}$ находится из системы неравенств:

1. Выражение под корнем четной (шестой) степени должно быть неотрицательным: $ x^2-5x \ge 0 $

2. Знаменатель первой дроби не может быть равен нулю: $ 2x+2 \ne 0 $

3. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $ \frac{2x+3}{x-4} \ge 0 $

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решение неравенства $x^2-5x \ge 0$.
$x(x-5) \ge 0$.
Корни уравнения $x(x-5)=0$ — это $x=0$ и $x=5$.
График $f(x)=x^2-5x$ — парабола с ветвями вверх. Значения неотрицательны на концах, вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$.

2. Условие $2x+2 \ne 0$ дает $2x \ne -2 \Rightarrow x \ne -1$.

3. Решение неравенства $\frac{2x+3}{x-4} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя:
$2x+3=0 \Rightarrow x = -1.5$
$x-4=0 \Rightarrow x = 4$
Отметим точки на оси. $x=-1.5$ включается, $x=4$ исключается.
Проверим знаки на интервалах:
- $(-\infty; -1.5]$: возьмем $x=-2$, $\frac{2(-2)+3}{-2-4} = \frac{-1}{-6} > 0$. Интервал подходит.
- $[-1.5; 4)$: возьмем $x=0$, $\frac{3}{-4} < 0$. Интервал не подходит.
- $(4; +\infty)$: возьмем $x=5$, $\frac{2(5)+3}{5-4} = \frac{13}{1} > 0$. Интервал подходит.
Решение третьего неравенства: $x \in (-\infty; -1.5] \cup (4; +\infty)$.

Найдем пересечение всех решений.
Объединим условия 1 и 2: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup [5; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение этого множества с решением третьего неравенства $x \in (-\infty; -1.5] \cup (4; +\infty)$.
- Пересечение $(-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup [5; +\infty)$ с $(-\infty; -1.5]$ дает $(-\infty; -1.5]$.
- Пересечение $(-\infty; -1) \cup (-1; 0] \cup [5; +\infty)$ с $(4; +\infty)$ дает $[5; +\infty)$.
Объединив эти два результата, получаем итоговую область определения.
Ответ: $x \in (-\infty; -1.5] \cup [5; +\infty)$.