Номер 34.18, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.18, страница 133.

34.18 а) $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4};$

б) $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x};$

в) $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1};$

г) $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}.$

а)

Область определения функции $y = \sqrt{5x + 8} + \sqrt[4]{2x - 4}$ находится из условия, что подкоренные выражения корней четной степени (в данном случае, 2 и 4) должны быть неотрицательными. Это требование приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 5x + 8 \ge 0 \\ 2x - 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $5x + 8 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge -8 \Rightarrow x \ge -\frac{8}{5}$

2) $2x - 4 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2$

Областью определения функции является пересечение решений этих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые одновременно больше или равны $-1.6$ и больше или равны $2$. Общим решением является $x \ge 2$.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

б)

Для функции $y = \sqrt[6]{2x + 1} - \sqrt[8]{5 - 10x}$ оба корня имеют четную степень (6 и 8), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ 5 - 10x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $2x + 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -1 \Rightarrow x \ge -\frac{1}{2}$

2) $5 - 10x \ge 0 \Rightarrow 5 \ge 10x \Rightarrow \frac{5}{10} \ge x \Rightarrow x \le \frac{1}{2}$

Область определения — это пересечение решений, то есть все $x$, удовлетворяющие условию $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-0.5; 0.5]$.

в)

Для функции $y = \sqrt[10]{3x - 12} - \sqrt[4]{2x - 1}$ оба корня имеют четную степень (10 и 4), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 12 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - 12 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 12 \Rightarrow x \ge 4$

2) $2x - 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}$

Пересечением множеств решений $x \ge 4$ и $x \ge 0.5$ является множество $x \ge 4$.

Ответ: $D(y) = [4; +\infty)$.

г)

Для функции $y = \sqrt{8 - 16x} + \sqrt[12]{10x + 20}$ оба корня имеют четную степень (2 и 12), поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 8 - 16x \ge 0 \\ 10x + 20 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1) $8 - 16x \ge 0 \Rightarrow 8 \ge 16x \Rightarrow \frac{8}{16} \ge x \Rightarrow x \le \frac{1}{2}$

2) $10x + 20 \ge 0 \Rightarrow 10x \ge -20 \Rightarrow x \ge -2$

Область определения — это пересечение решений, то есть все $x$, удовлетворяющие условию $-2 \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-2; 0.5]$.