Номер 34.11, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.11, страница 132.

34.11 a) $y = \sqrt[4]{x} - 1,$

$y = x^2 - 2x - 8;$

б) $y = 2\sqrt[3]{x},$

$y = 10x - 16 - x^2.$

a)

Для нахождения точек пересечения графиков функций, заданных уравнениями системы, приравняем правые части этих уравнений:

$y = \sqrt[4]{x} - 1$

$y = x^2 - 2x - 8$

$\sqrt[4]{x} - 1 = x^2 - 2x - 8$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется наличием корня четвертой степени, который определен для неотрицательных чисел: $x \ge 0$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 - 2x - \sqrt[4]{x} - 7 = 0$

Решить данное уравнение аналитически (найти точное значение корня) затруднительно. Проведем исследование, чтобы определить количество решений и их примерное расположение. Для этого рассмотрим функцию $h(x) = x^2 - 2x - \sqrt[4]{x} - 7$ и найдем ее корни.

Вычислим значения функции $h(x)$ в нескольких точках:

• При $x=4$: $h(4) = 4^2 - 2(4) - \sqrt[4]{4} - 7 = 16 - 8 - \sqrt{2} - 7 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$. Таким образом, $h(4) < 0$.
• При $x=5$: $h(5) = 5^2 - 2(5) - \sqrt[4]{5} - 7 = 25 - 10 - \sqrt[4]{5} - 7 = 8 - \sqrt[4]{5}$. Так как $1^4=1$ и $2^4=16$, то $1 < \sqrt[4]{5} < 2$. Следовательно, $h(5) = 8 - \sqrt[4]{5} > 0$.

Функция $h(x)$ непрерывна на отрезке $[4, 5]$. Поскольку на концах этого отрезка она принимает значения разных знаков ($h(4) < 0$ и $h(5) > 0$), по теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, на интервале $(4, 5)$ существует как минимум один корень уравнения $h(x)=0$.

Чтобы определить точное количество корней, можно исследовать функцию на монотонность с помощью производной. Вторая производная $h''(x) = 2 + \frac{3}{16}x^{-7/4}$ всегда положительна при $x > 0$. Это означает, что функция $h(x)$ является выпуклой вниз, а такая функция может пересекать ось абсцисс не более двух раз. Учитывая, что $h(0) = -7$ и функция имеет единственный глобальный минимум, можно заключить, что корень только один.

Таким образом, система имеет единственное решение, которое не является целым или простым рациональным числом и может быть найдено только численными методами.

Ответ: система имеет одно решение, причем координата $x$ этого решения лежит в интервале $(4, 5)$.

б)

Приравняем правые части уравнений данной системы:

$y = 2\sqrt[3]{x}$

$y = 10x - 16 - x^2$

$2\sqrt[3]{x} = 10x - 16 - x^2$

Область допустимых значений $x$ — все действительные числа, так как корень кубический определен для любого числа.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$2\sqrt[3]{x} + x^2 - 10x + 16 = 0$

Как и в предыдущем случае, решим задачу с помощью исследования функции $f(x) = 2\sqrt[3]{x} + x^2 - 10x + 16$.

Вычислим значения функции в нескольких точках:

• При $x=2$: $f(2) = 2\sqrt[3]{2} + 2^2 - 10(2) + 16 = 2\sqrt[3]{2} + 4 - 20 + 16 = 2\sqrt[3]{2}$. Так как $\sqrt[3]{2} > 0$, то $f(2) > 0$.
• При $x=5$ (точка вершины параболы $y=-x^2+10x-16$): $f(5) = 2\sqrt[3]{5} + 5^2 - 10(5) + 16 = 2\sqrt[3]{5} + 25 - 50 + 16 = 2\sqrt[3]{5} - 9$. Так как $\sqrt[3]{5} < \sqrt[3]{27}=3$, то $2\sqrt[3]{5} < 6$, следовательно $f(5) = 2\sqrt[3]{5} - 9 < 0$.
• При $x=8$: $f(8) = 2\sqrt[3]{8} + 8^2 - 10(8) + 16 = 2(2) + 64 - 80 + 16 = 4 + 0 = 4$. Таким образом, $f(8) > 0$.

Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой оси. Проанализируем знаки на концах отрезков:

• На отрезке $[2, 5]$ функция меняет знак с положительного ($f(2)>0$) на отрицательный ($f(5)<0$). Следовательно, на интервале $(2, 5)$ есть как минимум один корень.
• На отрезке $[5, 8]$ функция меняет знак с отрицательного ($f(5)<0$) на положительный ($f(8)>0$). Следовательно, на интервале $(5, 8)$ есть как минимум один корень.

Дальнейший анализ с помощью производной подтверждает, что других корней нет.

Таким образом, система имеет два решения. Точные значения этих решений не выражаются через элементарные функции и могут быть найдены численными методами.

Ответ: система имеет два решения. Одно решение лежит в интервале $(2, 5)$, другое — в интервале $(5, 8)$.