Номер 34.12, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.12, страница 132.

34.12 a) $\begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ y = 2x^4 - 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ y = (x + 3)^6 - 1. \end{cases}$

а)

Требуется найти количество решений системы уравнений:$\begin{cases} y = \sqrt[5]{x} \\ y = 2x^4 - 5\end{cases}$

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $f(x) = \sqrt[5]{x}$ и $g(x) = 2x^4 - 5$.

Проанализируем свойства этих функций.
1. Функция $f(x) = \sqrt[5]{x} = x^{1/5}$ определена для всех действительных чисел ($D(f) = \mathbb{R}$). Её производная $f'(x) = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$. Поскольку $x^4 \ge 0$, производная $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.
2. Функция $g(x) = 2x^4 - 5$ также определена для всех действительных чисел ($D(g) = \mathbb{R}$). Это чётная функция, её график симметричен относительно оси ординат. Производная $g'(x) = 8x^3$.
- При $x < 0$, $g'(x) < 0$, следовательно, функция $g(x)$ убывает.
- При $x > 0$, $g'(x) > 0$, следовательно, функция $g(x)$ возрастает.
- В точке $x = 0$ функция $g(x)$ имеет минимум, равный $g(0) = 2(0)^4 - 5 = -5$.

Рассмотрим количество пересечений графиков на разных промежутках:

1. При $x < 0$:
Функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ возрастает, а функция $g(x) = 2x^4 - 5$ убывает. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.
Проверим значения функций в некоторых точках:
- При $x = -1$: $f(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$, $g(-1) = 2(-1)^4 - 5 = 2 - 5 = -3$. Здесь $f(-1) > g(-1)$.
- При $x = -2$: $f(-2) = \sqrt[5]{-2} \approx -1.15$, $g(-2) = 2(-2)^4 - 5 = 2 \cdot 16 - 5 = 27$. Здесь $f(-2) < g(-2)$.
Поскольку обе функции непрерывны, а на концах отрезка $[-2, -1]$ разность $f(x) - g(x)$ меняет знак, то по теореме о промежуточном значении на интервале $(-2, -1)$ есть хотя бы одна точка пересечения. Так как на промежутке $(-\infty, 0)$ одна функция возрастает, а другая убывает, эта точка пересечения единственная. Таким образом, есть одно отрицательное решение.

2. При $x = 0$:
$f(0) = \sqrt[5]{0} = 0$.
$g(0) = 2(0)^4 - 5 = -5$.
Поскольку $f(0) \neq g(0)$, $x=0$ не является решением.

3. При $x > 0$:
Обе функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают.
Сравним их значения:
- При $x=0$ (на границе области): $f(0)=0$, $g(0)=-5$. То есть $f(0) > g(0)$.
- При $x=2$: $f(2) = \sqrt[5]{2} \approx 1.15$, $g(2) = 2(2)^4 - 5 = 32 - 5 = 27$. Здесь $f(2) < g(2)$.
Поскольку при $x=0$ график $f(x)$ находится выше графика $g(x)$, а при $x=2$ — ниже, и обе функции непрерывны, то на интервале $(0, 2)$ есть как минимум одна точка пересечения.
Степень $x$ у функции $g(x)$ (равная 4) больше степени $x$ у функции $f(x)$ (равной $1/5$), поэтому при больших $x$ функция $g(x)$ растет значительно быстрее, чем $f(x)$. Это говорит о том, что после пересечения график $g(x)$ будет всегда выше графика $f(x)$. Графически это означает наличие одного пересечения.
Более строго, рассмотрим разность $h(x) = g(x) - f(x) = 2x^4 - 5 - x^{1/5}$. Её производная $h'(x) = 8x^3 - \frac{1}{5}x^{-4/5}$. Уравнение $h'(x)=0$ имеет единственный положительный корень. Это означает, что у функции $h(x)$ на промежутке $(0, \infty)$ есть только один экстремум (минимум). Поскольку $h(x)$ начинается со значения $h(0)=-5$, убывает до некоторого минимального отрицательного значения, а затем возрастает до $+\infty$, она пересекает ось абсцисс ровно один раз. Таким образом, есть одно положительное решение.

Суммируя, мы имеем одно отрицательное решение и одно положительное решение. Всего 2 решения.

Ответ: 2.

б)

Требуется найти количество решений системы уравнений:$\begin{cases} y = \sqrt[4]{x} \\ y = (x+3)^6 - 1\end{cases}$

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $g(x) = (x+3)^6 - 1$.

Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ определена только при $x \ge 0$. Следовательно, мы ищем решения только в этой области.

Проанализируем поведение функций на промежутке $[0, \infty)$:
1. Функция $f(x) = \sqrt[4]{x}$ возрастает на всей своей области определения. В точке $x=0$ её значение $f(0)=0$.
2. Функция $g(x) = (x+3)^6 - 1$ имеет минимум в точке $x=-3$. Следовательно, на промежутке $[0, \infty)$ она является строго возрастающей.
Найдем наименьшее значение функции $g(x)$ на промежутке $[0, \infty)$. Так как она возрастает, минимум достигается в точке $x=0$:
$g(0) = (0+3)^6 - 1 = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.
Таким образом, для любого $x \ge 0$, значение $g(x) \ge 728$.

Сравним функции $f(x)$ и $g(x)$ на $[0, \infty)$.

1. На отрезке $[0, 1]$:
Для любого $x \in [0, 1]$, значение $f(x) = \sqrt[4]{x}$ находится в диапазоне $[0, 1]$, то есть $f(x) \le 1$.
В то же время, для любого $x \in [0, 1]$, значение $g(x) = (x+3)^6 - 1 \ge g(0) = 728$.
Поскольку $g(x) \ge 728$, а $f(x) \le 1$, очевидно, что на отрезке $[0, 1]$ $g(x) > f(x)$, и пересечений нет.

2. На промежутке $[1, \infty)$:
Рассмотрим разность функций $h(x) = g(x) - f(x) = (x+3)^6 - 1 - \sqrt[4]{x}$.
В точке $x=1$: $h(1) = g(1) - f(1) = ((1+3)^6 - 1) - \sqrt[4]{1} = (4^6 - 1) - 1 = 4096 - 2 = 4094$.
Так как $h(1) = 4094 > 0$, в точке $x=1$ график $g(x)$ находится выше графика $f(x)$.
Теперь сравним скорости роста функций, то есть их производные, при $x \ge 1$:
$f'(x) = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. При $x \ge 1$, $x^3 \ge 1$, поэтому $f'(x) \le \frac{1}{4}$.
$g'(x) = 6(x+3)^5$. При $x \ge 1$, $x+3 \ge 4$, поэтому $g'(x) \ge 6(4)^5 = 6 \cdot 1024 = 6144$.
Таким образом, для любого $x \ge 1$, $g'(x) > f'(x)$. Это означает, что функция $g(x)$ растет гораздо быстрее, чем $f(x)$, и разрыв между ними только увеличивается.
Так как $h(1) > 0$ и $h'(x) = g'(x) - f'(x) > 0$ для всех $x \ge 1$, функция $h(x)$ на промежутке $[1, \infty)$ строго возрастает. Следовательно, $h(x) > h(1) > 0$ для всех $x>1$. Это значит, что $g(x) > f(x)$ на всем промежутке $[1, \infty)$.

Мы показали, что $g(x) > f(x)$ на $[0, 1]$ и на $[1, \infty)$. Следовательно, $g(x) > f(x)$ для всех $x \ge 0$. Графики функций не пересекаются.

Ответ: 0.