Номер 34.5, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.5, страница 131.

34.5 a) $y = \sqrt{x+2}-3;$

б) $y = \sqrt[3]{x-1}+2;$

В) $y = \sqrt[4]{x-1}+3;$

Г) $y = \sqrt[5]{x+4}-4.$

а) $y = \sqrt{x+2} - 3$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит квадратный корень (корень четной степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решаем неравенство: $x+2 \geq 0$, что дает $x \geq -2$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Область значений функции ($E(y)$): Арифметический квадратный корень $\sqrt{x+2}$ по определению принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x+2} \geq 0$. Если из обеих частей этого неравенства вычесть 3, получим: $\sqrt{x+2} - 3 \geq -3$. Так как левая часть — это $y$, то $y \geq -3$. Таким образом, область значений функции: $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; +\infty)$; область значений $E(y) = [-3; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x-1} + 2$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит кубический корень (корень нечетной степени), который определен для любого действительного числа. Следовательно, подкоренное выражение $x-1$ может быть любым действительным числом. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции ($E(y)$): Выражение $\sqrt[3]{x-1}$ может принимать любое действительное значение. Прибавление константы 2 сдвигает график функции вверх, но не влияет на множество значений, которое охватывает все действительные числа. Область значений — все действительные числа: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{x-1} + 3$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит корень четвертой степени (корень четной степени), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решаем неравенство: $x-1 \geq 0$, что дает $x \geq 1$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [1; +\infty)$.

Область значений функции ($E(y)$): Корень четвертой степени $\sqrt[4]{x-1}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt[4]{x-1} \geq 0$. Если к обеим частям этого неравенства прибавить 3, получим: $\sqrt[4]{x-1} + 3 \geq 3$. Так как левая часть — это $y$, то $y \geq 3$. Таким образом, область значений функции: $E(y) = [3; +\infty)$.

Ответ: область определения $D(y) = [1; +\infty)$; область значений $E(y) = [3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{x+4} - 4$

Область определения функции ($D(y)$): Функция содержит корень пятой степени (корень нечетной степени), который определен для любого действительного числа. Следовательно, подкоренное выражение $x+4$ может быть любым действительным числом. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений функции ($E(y)$): Выражение $\sqrt[5]{x+4}$ может принимать любое действительное значение. Вычитание константы 4 сдвигает график функции вниз, но не влияет на множество значений, которое охватывает все действительные числа. Область значений — все действительные числа: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.