Номер 33.18, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.18, страница 131.

33.18 Определите знак разности:

а) $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90}; $

б) $ 3 - \sqrt[7]{150}; $

в) $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50}; $

г) $ \sqrt[4]{300} - 5. $

а) Чтобы определить знак разности $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90} $, необходимо сравнить значения $ \sqrt[3]{15} $ и $ \sqrt[4]{90} $. Для этого возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней $3$ и $4$, то есть в $12$-ю степень.
Сравниваем $ (\sqrt[3]{15})^{12} $ и $ (\sqrt[4]{90})^{12} $.
$ (\sqrt[3]{15})^{12} = 15^{\frac{12}{3}} = 15^4 = (15^2)^2 = 225^2 = 50625 $.
$ (\sqrt[4]{90})^{12} = 90^{\frac{12}{4}} = 90^3 = 729000 $.
Поскольку $ 50625 < 729000 $, то $ 15^4 < 90^3 $, и, следовательно, $ \sqrt[3]{15} < \sqrt[4]{90} $.
Значит, разность $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90} $ является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (–).

б) Чтобы определить знак разности $ 3 - \sqrt[7]{150} $, сравним числа $ 3 $ и $ \sqrt[7]{150} $. Возведем оба числа в $7$-ю степень.
$ 3^7 = 2187 $.
$ (\sqrt[7]{150})^7 = 150 $.
Поскольку $ 2187 > 150 $, то $ 3^7 > (\sqrt[7]{150})^7 $, и, следовательно, $ 3 > \sqrt[7]{150} $.
Значит, разность $ 3 - \sqrt[7]{150} $ является положительным числом.
Ответ: знак плюс (+).

в) Чтобы определить знак разности $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50} $, сравним значения $ \sqrt[5]{40} $ и $ \sqrt[3]{50} $. Для этого возведем оба числа в степень, равную наименьшему общему кратному показателей корней $5$ и $3$, то есть в $15$-ю степень.
Сравниваем $ (\sqrt[5]{40})^{15} $ и $ (\sqrt[3]{50})^{15} $.
$ (\sqrt[5]{40})^{15} = 40^{\frac{15}{5}} = 40^3 = 64000 $.
$ (\sqrt[3]{50})^{15} = 50^{\frac{15}{3}} = 50^5 = 5^5 \cdot 10^5 = 3125 \cdot 100000 = 312500000 $.
Поскольку $ 64000 < 312500000 $, то $ 40^3 < 50^5 $, и, следовательно, $ \sqrt[5]{40} < \sqrt[3]{50} $.
Значит, разность $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50} $ является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (–).

г) Чтобы определить знак разности $ \sqrt[4]{300} - 5 $, сравним числа $ \sqrt[4]{300} $ и $ 5 $. Возведем оба числа в $4$-ю степень.
$ (\sqrt[4]{300})^4 = 300 $.
$ 5^4 = 625 $.
Поскольку $ 300 < 625 $, то $ (\sqrt[4]{300})^4 < 5^4 $, и, следовательно, $ \sqrt[4]{300} < 5 $.
Значит, разность $ \sqrt[4]{300} - 5 $ является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (–).