Номер 33.19, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.19, страница 131.

33.19 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, 2, $\sqrt[6]{70}$;

б) $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, 1, $\sqrt[5]{-\pi}$;

в) $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, 2,5;

г) $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, 0, $\sqrt[3]{200}$.

а) Для того чтобы расположить числа $\frac{\pi}{2}$, $\sqrt[5]{-12}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. Число $\sqrt[5]{-12}$ является единственным отрицательным числом в наборе, так как корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен. Следовательно, это наименьшее число.
2. Сравним остальные (положительные) числа: $\frac{\pi}{2}$, $2$ и $\sqrt[6]{70}$.
3. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14$. Тогда $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3,14}{2} = 1,57$. Очевидно, что $1,57 < 2$, значит $\frac{\pi}{2} < 2$.
4. Теперь сравним $2$ и $\sqrt[6]{70}$. Для этого представим число $2$ в виде корня шестой степени: $2 = \sqrt[6]{2^6} = \sqrt[6]{64}$.
5. Так как функция $y = \sqrt[6]{x}$ является возрастающей для $x > 0$ и $70 > 64$, то $\sqrt[6]{70} > \sqrt[6]{64}$, а значит $\sqrt[6]{70} > 2$.
6. Объединив результаты, получаем следующую последовательность: $\sqrt[5]{-12} < \frac{\pi}{2} < 2 < \sqrt[6]{70}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-12}$, $\frac{\pi}{2}$, $2$, $\sqrt[6]{70}$.

б) Для того чтобы расположить числа $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$, $1$, $\sqrt[5]{-\pi}$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. Число $\sqrt[5]{-\pi}$ является единственным отрицательным числом, так как $\pi > 0$. Следовательно, оно наименьшее.
2. Сравним остальные (положительные) числа: $\frac{3}{\pi}$, $\sqrt[7]{\pi}$ и $1$.
3. Так как $\pi \approx 3,14 > 3$, то знаменатель дроби $\frac{3}{\pi}$ больше числителя, следовательно, $\frac{3}{\pi} < 1$.
4. Сравним $\sqrt[7]{\pi}$ и $1$. Так как $\pi > 1$, то корень любой натуральной степени из $\pi$ будет больше единицы: $\sqrt[7]{\pi} > \sqrt[7]{1} = 1$.
5. Таким образом, для положительных чисел имеем: $\frac{3}{\pi} < 1 < \sqrt[7]{\pi}$.
6. Объединив все результаты, получаем итоговый порядок: $\sqrt[5]{-\pi} < \frac{3}{\pi} < 1 < \sqrt[7]{\pi}$.
Ответ: $\sqrt[5]{-\pi}$, $\frac{3}{\pi}$, $1$, $\sqrt[7]{\pi}$.

в) Для того чтобы расположить числа $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$, $\sqrt[3]{-2}$, $2,5$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. Число $\sqrt[3]{-2}$ является единственным отрицательным числом, следовательно, оно наименьшее.
2. Сравним остальные (положительные) числа: $\sqrt{2\pi}$, $\frac{\pi}{3}$ и $2,5$.
3. Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Тогда $\frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,047$. Очевидно, что $\frac{\pi}{3} < 2,5$.
4. Сравним $\sqrt{2\pi}$ и $2,5$. Для этого сравним их квадраты, так как оба числа положительны.
$(\sqrt{2\pi})^2 = 2\pi$.
$(2,5)^2 = 6,25$.
5. Сравним $2\pi$ и $6,25$. Это эквивалентно сравнению $\pi$ и $\frac{6,25}{2} = 3,125$.
6. Поскольку $\pi \approx 3,14159... > 3,125$, то $2\pi > 6,25$, и, следовательно, $\sqrt{2\pi} > 2,5$.
7. Таким образом, для положительных чисел имеем: $\frac{\pi}{3} < 2,5 < \sqrt{2\pi}$.
8. Объединив все результаты, получаем итоговый порядок: $\sqrt[3]{-2} < \frac{\pi}{3} < 2,5 < \sqrt{2\pi}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-2}$, $\frac{\pi}{3}$, $2,5$, $\sqrt{2\pi}$.

г) Для того чтобы расположить числа $2\pi$, $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$ в порядке возрастания, оценим их значения.
1. В наборе есть одно отрицательное число, ноль и два положительных числа.
2. Отрицательное число $\sqrt[5]{-0,5}$ является наименьшим.
3. Следующим по величине идет $0$.
4. Сравним положительные числа: $2\pi$ и $\sqrt[3]{200}$. Для этого сравним их кубы.
$(2\pi)^3 = 8\pi^3$.
$(\sqrt[3]{200})^3 = 200$.
5. Сравнение $8\pi^3$ и $200$ эквивалентно сравнению $\pi^3$ и $\frac{200}{8} = 25$.
6. Возьмем оценку $\pi > 3,1$. Тогда $\pi^3 > (3,1)^3 = 29,791$.
7. Поскольку $29,791 > 25$, то $\pi^3 > 25$, а значит $8\pi^3 > 200$. Следовательно, $2\pi > \sqrt[3]{200}$.
8. Таким образом, для положительных чисел имеем: $\sqrt[3]{200} < 2\pi$.
9. Объединив все результаты, получаем итоговый порядок: $\sqrt[5]{-0,5} < 0 < \sqrt[3]{200} < 2\pi$.
Ответ: $\sqrt[5]{-0,5}$, $0$, $\sqrt[3]{200}$, $2\pi$.