Номер 33.16, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.16, страница 130.

33.16 Расположите числа в порядке возрастания:

а) $2$, $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{17}$;

б) $\sqrt[3]{75}$, $4$, $\sqrt[5]{100}$;

в) $3$, $\sqrt[5]{40}$, $\sqrt[3]{7}$;

г) $2$, $\sqrt[6]{60}$, $\sqrt[4]{20}$.

а) Чтобы сравнить числа $2$, $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt[4]{17}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей корней (у числа 2 показатель степени 1, у $\sqrt[3]{5}$ - 3, у $\sqrt[4]{17}$ - 4) равно 12.

Представим каждое число в виде корня 12-й степени:

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$

$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 3]{17^3} = \sqrt[12]{17 \cdot 17^2} = \sqrt[12]{17 \cdot 289} = \sqrt[12]{4913}$

Теперь сравним подкоренные выражения: $625 < 4096 < 4913$.

Следовательно, $\sqrt[12]{625} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{4913}$, что соответствует неравенству $\sqrt[3]{5} < 2 < \sqrt[4]{17}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}, 2, \sqrt[4]{17}$.

б) Для сравнения чисел $\sqrt[3]{75}$, $4$ и $\sqrt[5]{100}$ удобно возвести их в такую степень, чтобы избавиться от корней. Будем сравнивать числа попарно.

Сравним $4$ и $\sqrt[3]{75}$. Возведем оба числа в 3-ю степень:

$4^3 = 64$

$(\sqrt[3]{75})^3 = 75$

Так как $64 < 75$, то $4 < \sqrt[3]{75}$.

Сравним $4$ и $\sqrt[5]{100}$. Возведем оба числа в 5-ю степень:

$4^5 = 1024$

$(\sqrt[5]{100})^5 = 100$

Так как $100 < 1024$, то $\sqrt[5]{100} < 4$.

Объединив полученные неравенства, получаем: $\sqrt[5]{100} < 4 < \sqrt[3]{75}$.

Ответ: $\sqrt[5]{100}, 4, \sqrt[3]{75}$.

в) Сравним числа $3$, $\sqrt[5]{40}$ и $\sqrt[3]{7}$. Приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей (1, 5, 3) равно 15.

Представим каждое число в виде корня 15-й степени:

$3 = \sqrt[15]{3^{15}} = \sqrt[15]{14348907}$

$\sqrt[5]{40} = \sqrt[5 \cdot 3]{40^3} = \sqrt[15]{64000}$

$\sqrt[3]{7} = \sqrt[3 \cdot 5]{7^5} = \sqrt[15]{16807}$

Сравним подкоренные выражения: $16807 < 64000 < 14348907$.

Следовательно, $\sqrt[15]{16807} < \sqrt[15]{64000} < \sqrt[15]{14348907}$, что соответствует неравенству $\sqrt[3]{7} < \sqrt[5]{40} < 3$.

Ответ: $\sqrt[3]{7}, \sqrt[5]{40}, 3$.

г) Чтобы сравнить числа $2$, $\sqrt[6]{60}$ и $\sqrt[4]{20}$, приведем их к одному показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей (1, 6, 4) равно 12.

Представим каждое число в виде корня 12-й степени:

$2 = \sqrt[12]{2^{12}} = \sqrt[12]{4096}$

$\sqrt[6]{60} = \sqrt[6 \cdot 2]{60^2} = \sqrt[12]{3600}$

$\sqrt[4]{20} = \sqrt[4 \cdot 3]{20^3} = \sqrt[12]{8000}$

Сравнивая подкоренные выражения, получаем: $3600 < 4096 < 8000$.

Таким образом, $\sqrt[12]{3600} < \sqrt[12]{4096} < \sqrt[12]{8000}$, из чего следует $\sqrt[6]{60} < 2 < \sqrt[4]{20}$.

Ответ: $\sqrt[6]{60}, 2, \sqrt[4]{20}$.