Номер 33.17, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.17, страница 131.

33.17 Расположите числа в порядке убывания:

а) $-1$, $\sqrt[3]{-5}$, $\sqrt[4]{0.1}$;

б) $0$, $\sqrt[3]{-0.25}$, $\sqrt[5]{-29}$;

в) $-2$, $\sqrt[5]{-1.5}$, $\sqrt[3]{-9}$;

г) $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{-2}$.

а)

Чтобы расположить числа $-1$, $\sqrt[3]{-5}$, $\sqrt[4]{0,1}$ в порядке убывания, определим их знаки. Число $\sqrt[4]{0,1}$ положительное, так как это корень четвертой степени из положительного числа. Числа $-1$ и $\sqrt[3]{-5}$ (корень нечетной степени из отрицательного числа) — отрицательные. Следовательно, $\sqrt[4]{0,1}$ является наибольшим из данных чисел.

Теперь сравним отрицательные числа: $-1$ и $\sqrt[3]{-5}$. Для этого представим $-1$ в виде кубического корня: $-1 = \sqrt[3]{(-1)^3} = \sqrt[3]{-1}$. Сравним подкоренные выражения: $-1 > -5$. Поскольку функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, то из $-1 > -5$ следует, что $\sqrt[3]{-1} > \sqrt[3]{-5}$, то есть $-1 > \sqrt[3]{-5}$.

Таким образом, располагая числа в порядке от наибольшего к наименьшему, получаем: $\sqrt[4]{0,1}$, $-1$, $\sqrt[3]{-5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{0,1}; -1; \sqrt[3]{-5}$.

б)

Расположим в порядке убывания числа $0$, $\sqrt[3]{-0,25}$, $\sqrt[5]{-29}$. Число $0$ больше любого отрицательного числа. Числа $\sqrt[3]{-0,25}$ и $\sqrt[5]{-29}$ являются отрицательными, так как это корни нечетной степени из отрицательных чисел. Значит, $0$ — наибольшее число.

Сравним отрицательные числа $\sqrt[3]{-0,25}$ и $\sqrt[5]{-29}$. Для этого приведем их к общему показателю корня, равному НОК(3, 5) = 15. Так как 15 — нечетное число, знак неравенства при возведении в эту степень сохранится.

$(\sqrt[3]{-0,25})^{15} = (-0,25)^{15/3} = (-0,25)^5 = - (0,25)^5 = -(\frac{1}{4})^5 = -\frac{1}{1024}$.

$(\sqrt[5]{-29})^{15} = (-29)^{15/5} = (-29)^3 = -24389$.

Сравним полученные значения: $-\frac{1}{1024} > -24389$. Следовательно, $\sqrt[3]{-0,25} > \sqrt[5]{-29}$.

В порядке убывания числа располагаются так: $0$, $\sqrt[3]{-0,25}$, $\sqrt[5]{-29}$.

Ответ: $0; \sqrt[3]{-0,25}; \sqrt[5]{-29}$.

в)

Расположим в порядке убывания числа $-2$, $\sqrt[5]{-1,5}$, $\sqrt[3]{-9}$. Все три числа являются отрицательными. Чтобы их сравнить, можно возвести их в соответствующую нечетную степень или привести к корням с одинаковым показателем.

Сравним $-2$ и $\sqrt[3]{-9}$. Представим $-2$ в виде кубического корня: $-2 = \sqrt[3]{(-2)^3} = \sqrt[3]{-8}$. Так как $-8 > -9$ и функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, то $\sqrt[3]{-8} > \sqrt[3]{-9}$, то есть $-2 > \sqrt[3]{-9}$.

Сравним $\sqrt[5]{-1,5}$ и $-2$. Возведем оба числа в 5-ю степень (нечетную): $(\sqrt[5]{-1,5})^5 = -1,5$. $(-2)^5 = -32$. Поскольку $-1,5 > -32$, то $\sqrt[5]{-1,5} > -2$.

Объединяя полученные неравенства, имеем: $\sqrt[5]{-1,5} > -2 > \sqrt[3]{-9}$.

Ответ: $\sqrt[5]{-1,5}; -2; \sqrt[3]{-9}$.

г)

Расположим в порядке убывания числа $1$, $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{-2}$. Число $\sqrt[3]{-2}$ является отрицательным. Числа $1$ и $\sqrt[3]{2}$ — положительные. Следовательно, $\sqrt[3]{-2}$ — наименьшее из трех чисел.

Теперь сравним положительные числа $1$ и $\sqrt[3]{2}$. Представим $1$ в виде кубического корня: $1 = \sqrt[3]{1^3} = \sqrt[3]{1}$. Сравним подкоренные выражения: $2 > 1$. Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, то из $2 > 1$ следует, что $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1}$, то есть $\sqrt[3]{2} > 1$.

Таким образом, в порядке убывания числа располагаются следующим образом: $\sqrt[3]{2}$, $1$, $\sqrt[3]{-2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}; 1; \sqrt[3]{-2}$.