Номер 34.4, страница 131, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.4, страница 131.

34.4 a) $y = \sqrt{x} + 2;$

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4;$

В) $y = \sqrt[5]{x} + 1;$

Г) $y = \sqrt[4]{x} - \frac{1}{2}.$

Задачей является нахождение области определения для каждой из предложенных функций.

а) $y = \sqrt{x} + 2$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. В данном случае функция содержит квадратный корень $\sqrt{x}$. Выражение под знаком квадратного корня (или любого корня четной степени) должно быть неотрицательным.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x \ge 0$

Это и есть область определения функции. В виде промежутка это записывается как $[0; +\infty)$. Слагаемое `+ 2` не влияет на область определения.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4$

Функция содержит кубический корень $\sqrt[3]{x}$. В отличие от корней четной степени, корень нечетной степени (кубический, пятой степени и т.д.) определен для любого действительного числа $x$, как положительного, так и отрицательного, а также для нуля.

Поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается. Слагаемое `- 4` также не влияет на область определения. Область определения функции — все действительные числа. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

в) $y = \sqrt[5]{x} + 1$

Функция содержит корень пятой степени $\sqrt[5]{x}$. Корень нечетной степени, как и в предыдущем пункте, определен для любого действительного значения аргумента $x$.

Следовательно, область определения этой функции — множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Слагаемое `+ 1` не влияет на область определения. В виде промежутка это записывается как $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

г) $y = \sqrt[4]{x} - \frac{1}{2}$

Данная функция содержит корень четвертой степени $\sqrt[4]{x}$. Корень четной степени, как и квадратный корень, определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Таким образом, для нахождения области определения необходимо решить неравенство:

$x \ge 0$

Область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел. Вычитаемое $-\frac{1}{2}$ не влияет на область определения. В виде промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$