Номер 34.8, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.8, страница 132.

34.8 Найдите точки пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$;

б) $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$;

в) $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$;

г) $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x - 2$.

а) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = x^2$ необходимо приравнять выражения для $y$:
$\sqrt[4]{x} = x^2$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой уравнения определяется наличием корня четной степени: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в 4-ю степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[4]{x})^4 = (x^2)^4$
$x = x^8$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^8 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^7 - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x^7 - 1 = 0$, откуда $x^7 = 1$, то есть $x = 1$.
Оба найденных значения $x=0$ и $x=1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любую из исходных функций, например, в $y = x^2$:
При $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

б) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = |x|$ приравняем их:
$\sqrt[3]{x} = |x|$
Область допустимых значений для $x$ - все действительные числа.
Возведем обе части уравнения в 3-ю степень:
$(\sqrt[3]{x})^3 = |x|^3$
$x = |x|^3$
Так как $|x|^3 \ge 0$ для любого $x$, то и левая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x \ge 0$.
При условии $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Уравнение принимает вид:
$x = x^3$
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x-1)(x+1) = 0$
Получаем корни: $x=0$, $x=1$, $x=-1$.
Учитывая условие $x \ge 0$, нам подходят только $x=0$ и $x=1$.
Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в функцию $y = |x|$:
При $x = 0$, $y = |0| = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = |1| = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

в) Найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[6]{x}$ и $y = x$. Приравняем их:
$\sqrt[6]{x} = x$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в 6-ю степень:
$(\sqrt[6]{x})^6 = x^6$
$x = x^6$
$x^6 - x = 0$
$x(x^5 - 1) = 0$
Отсюда $x = 0$ или $x^5 - 1 = 0$, что дает $x^5 = 1$, то есть $x = 1$.
Оба корня ($x=0$ и $x=1$) входят в ОДЗ.
Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x$:
При $x = 0$, $y = 0$. Точка пересечения: $(0, 0)$.
При $x = 1$, $y = 1$. Точка пересечения: $(1, 1)$.
Ответ: $(0, 0)$, $(1, 1)$.

г) Найдем точки пересечения графиков функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x - 2$. Приравняем их:
$\sqrt[5]{x} = -x - 2$
ОДЗ для $x$ - все действительные числа.
Это уравнение сложно решить аналитически. Проанализируем функции.
Функция $f(x) = \sqrt[5]{x}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси.
Функция $g(x) = -x - 2$ является монотонно убывающей (это прямая с отрицательным угловым коэффициентом).
Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения.
Попробуем найти решение методом подбора, проверяя целые значения $x$.
Пусть $x = -1$.
Тогда левая часть: $\sqrt[5]{-1} = -1$.
Правая часть: $-(-1) - 2 = 1 - 2 = -1$.
Левая часть равна правой, значит $x = -1$ является корнем уравнения.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = \sqrt[5]{-1} = -1$.
Так как точка пересечения единственная, это и есть искомое решение.
Ответ: $(-1, -1)$.