Номер 34.9, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.9, страница 132.

34.9 Решите графически уравнение:

a) $\sqrt{x} = -x;$

б) $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x;$

в) $\sqrt[4]{x} = 2 - x;$

г) $\sqrt[5]{x} = -x^2.$

а)

Для того чтобы решить уравнение $\sqrt{x} = -x$ графически, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = \sqrt{x}$ и $y = -x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, которая расположена в первой координатной четверти. Область определения этой функции — $x \ge 0$, а область значений — $y \ge 0$. Некоторые точки для построения: (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = -x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей.

При построении видно, что графики пересекаются в единственной точке — начале координат (0, 0). Это происходит потому, что для всех $x > 0$ функция $y = \sqrt{x}$ принимает положительные значения, а функция $y = -x$ — отрицательные. Абсцисса точки пересечения и есть решение уравнения.
Ответ: $x=0$

б)

Чтобы решить уравнение $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 7 - 6x$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ (кубический корень) определён для всех действительных чисел, является возрастающей функцией и симметричен относительно начала координат. Ключевые точки для построения: (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

График функции $y = 7 - 6x$ — это прямая. Так как угловой коэффициент (-6) отрицателен, функция является убывающей. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0, y=7$ и при $x=1, y=1$.

Поскольку функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастает на всей своей области определения, а функция $y=7-6x$ убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Путем подбора можно легко найти, что при $x=1$ значения функций совпадают: $\sqrt[3]{1} = 1$ и $7 - 6 \cdot 1 = 1$. Таким образом, точка (1, 1) является точкой пересечения.
Ответ: $x=1$

в)

Для графического решения уравнения $\sqrt[4]{x} = 2 - x$ построим графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ определён при $x \ge 0$ и принимает неотрицательные значения ($y \ge 0$). Эта функция является возрастающей. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (16, 2).

График функции $y = 2 - x$ — это убывающая прямая, пересекающая оси координат в точках (0, 2) и (2, 0).

Так как одна функция возрастающая, а другая убывающая, они могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим целые значения. При $x=1$ получаем: $\sqrt[4]{1} = 1$ и $2 - 1 = 1$. Равенство верно, следовательно, графики пересекаются в точке (1, 1).
Ответ: $x=1$

г)

Чтобы решить уравнение $\sqrt[5]{x} = -x^2$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x^2$.

График функции $y = \sqrt[5]{x}$ определён для всех действительных чисел, является возрастающей функцией и симметричен относительно начала координат. Ключевые точки: (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

График функции $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).

Построив графики, находим их точки пересечения.
1. Точка (0, 0) очевидно является точкой пересечения, так как $\sqrt[5]{0} = 0$ и $-0^2 = 0$.
2. При $x > 0$ значения функции $y=\sqrt[5]{x}$ положительны, а значения $y=-x^2$ отрицательны, поэтому других пересечений в этой области нет.
3. При $x < 0$ обе функции принимают отрицательные значения, поэтому пересечения возможны. Проверим значение $x=-1$: $y=\sqrt[5]{-1}=-1$ и $y=-(-1)^2=-1$. Значения совпали, значит, точка (-1, -1) также является точкой пересечения.
Других точек пересечения нет. Абсциссы найденных точек являются решениями уравнения.
Ответ: $x=0, x=-1$