Номер 34.16, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.16, страница 133.

Найдите область определения функции:

34.16 a) $y = \sqrt[4]{2x - 4};$

б) $y = \sqrt[8]{2 - 3x};$

в) $y = \sqrt[6]{3x - 9};$

г) $y = \sqrt[12]{1 - 5x}.$

а) $y = \sqrt[4]{2x - 4}$

Область определения функции, содержащей корень четной степени, определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае показатель корня равен 4 (четное число), поэтому выражение под корнем должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$2x - 4 \geq 0$

Перенесем -4 в правую часть неравенства, изменив знак:

$2x \geq 4$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \geq 2$

Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $x \in [2, +\infty)$

б) $y = \sqrt[8]{2 - 3x}$

Показатель корня равен 8 (четное число), следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$2 - 3x \geq 0$

Перенесем 2 в правую часть неравенства:

$-3x \geq -2$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \leq \frac{-2}{-3}$

$x \leq \frac{2}{3}$

Область определения функции — это все числа, меньшие или равные $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{3}]$

в) $y = \sqrt[6]{3x - 9}$

Показатель корня равен 6 (четное число), поэтому подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$3x - 9 \geq 0$

Перенесем -9 в правую часть:

$3x \geq 9$

Разделим обе части на 3:

$x \geq 3$

Область определения функции — это все числа, большие или равные 3.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$

г) $y = \sqrt[12]{1 - 5x}$

Показатель корня равен 12 (четное число), следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$1 - 5x \geq 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$-5x \geq -1$

Разделим обе части на -5, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$x \leq \frac{-1}{-5}$

$x \leq \frac{1}{5}$

Область определения функции — это все числа, меньшие или равные $\frac{1}{5}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{1}{5}]$