Номер 34.19, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.19, страница 133.

34.19 a) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$;

Б) $y = \sqrt[12]{15 - x^2 + 2x}$;

В) $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$;

Г) $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$.

а)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$ находится из условия, что выражение под знаком корня четной степени (в данном случае, квадратного) должно быть неотрицательным.

Необходимо решить неравенство:

$x^2 + 4x - 12 \ge 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$ и произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -12$. Отсюда находим корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 4x - 12$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Следовательно, выражение принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $(-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, -6] \cup [2, +\infty)$.

б)

Для функции $y = \sqrt[12]{15 - x^2 + 2x}$ область определения задается условием неотрицательности подкоренного выражения, так как степень корня 12 — четная.

Решим неравенство:

$15 - x^2 + 2x \ge 0$

Перепишем его в стандартном виде и умножим на -1, изменив знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$-x^2 + 2x + 15 \ge 0$

$x^2 - 2x - 15 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 5$.

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 15$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 15 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением является отрезок $[-3, 5]$.

Ответ: $D(y) = [-3, 5]$.

в)

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 8x + 12}$ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения.

Решим неравенство:

$x^2 - 8x + 12 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 12$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $x^2 - 8x + 12 \ge 0$ справедливо для значений $x$ вне интервала между корнями.

Таким образом, решением является объединение промежутков: $(-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2] \cup [6, +\infty)$.

г)

Для функции $y = \sqrt[6]{4 - x^2 - 3x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку степень корня 6 — четная.

Решим неравенство:

$4 - x^2 - 3x \ge 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$x^2 + 3x - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решением является отрезок $[-4, 1]$.

Ответ: $D(y) = [-4, 1]$.