Номер 34.15, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.15, страница 133.

34.15 $y = \begin{cases} \sqrt[5]{x}, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Проведем полное исследование данной кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \sqrt[5]{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция определена для всех значений $x$, так как выражение $\sqrt[5]{x}$ определено для $x < 0$, а выражение $\sqrt{x}$ определено для $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции охватывает все действительные числа.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Непрерывность и точки разрыва

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y = \sqrt[5]{x}$ является элементарной и непрерывной. На промежутке $(0, +\infty)$ функция $y = \sqrt{x}$ также является элементарной и непрерывной. Исследуем непрерывность в точке $x=0$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

Значение функции: $y(0) = \sqrt{0} = 0$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} \sqrt[5]{x} = 0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

Поскольку левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=0$ равны, функция непрерывна в этой точке. Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, точек разрыва нет.

3. Четность и периодичность

Проверим функцию на четность. Для этого сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$. Возьмем, например, $x=1$:

$y(1) = \sqrt{1} = 1$.

$y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$.

Так как $y(-1) = -y(1)$, это может указывать на нечетность. Проверим для другого значения, например, $x=4$:

$y(4) = \sqrt{4} = 2$.

$y(-4) = \sqrt[5]{-4} \approx -1.32$.

Здесь $y(-4) \ne -y(4)$ ($-2$) и $y(-4) \ne y(4)$ ($2$). Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция также не является периодической.

Ответ: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной) и непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy: $x=0 \implies y(0) = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0,0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0$.

Если $x < 0$, то $\sqrt[5]{x} = 0 \implies x=0$, что не входит в рассматриваемый промежуток.

Если $x \ge 0$, то $\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Единственная точка пересечения с обеими осями — это начало координат.

Ответ: Точка пересечения с осями координат — $(0,0)$.

5. Производная и критические точки

Найдем производную функции для каждого интервала:

При $x < 0$: $y'(x) = (\sqrt[5]{x})' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

При $x > 0$: $y'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

В точке $x=0$ производная не определена. Найдем пределы производной при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0^-} y'(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} = +\infty$.

$\lim_{x \to 0^+} y'(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

Поскольку производная в точке $x=0$ не существует, $x=0$ является критической точкой. Касательная к графику в этой точке вертикальна.

Найдем другие критические точки, приравняв производную к нулю. Ни для $x<0$, ни для $x>0$ производная не обращается в ноль ($y'(x) > 0$ на обоих интервалах).

Ответ: Производная $y' = \begin{cases} \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}, & x < 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}}, & x > 0 \end{cases}$. Единственная критическая точка $x=0$.

6. Промежутки монотонности и точки экстремума

Проанализируем знак производной. На промежутке $(-\infty, 0)$ имеем $y'(x) = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}} > 0$. На промежутке $(0, +\infty)$ имеем $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$.

Так как производная положительна на всей области определения (кроме точки $x=0$), функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

Поскольку производная не меняет знак, точек экстремума у функции нет.

Ответ: Функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Вторая производная, выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную:

При $x < 0$: $y''(x) = (\frac{1}{5}x^{-4/5})' = \frac{1}{5}(-\frac{4}{5})x^{-9/5} = -\frac{4}{25x\sqrt[5]{x^4}}$.

При $x > 0$: $y''(x) = (\frac{1}{2}x^{-1/2})' = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

Проанализируем знак второй производной:

При $x < 0$, знаменатель $25x\sqrt[5]{x^4}$ отрицателен (т.к. $x<0$), поэтому $y''(x) > 0$. График функции вогнутый (выпуклый вниз).

При $x > 0$, знаменатель $4x\sqrt{x}$ положителен, поэтому $y''(x) < 0$. График функции выпуклый (выпуклый вверх).

В точке $x=0$ происходит смена знака второй производной, а функция непрерывна. Следовательно, $(0,0)$ является точкой перегиба.

Ответ: График функции вогнутый на $(-\infty, 0)$ и выпуклый на $(0, +\infty)$. Точка $(0,0)$ — точка перегиба.

8. Асимптоты

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.

Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$.

$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[5]{x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{4/5}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt[5]{x^4}} = 0$.

Так как в обоих случаях $k=0$, а пределы $\lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - 0 \cdot x) = \lim_{x \to \pm\infty} y(x)$ равны $\pm\infty$, то горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Ответ: Асимптот у графика функции нет.

9. Область значений и построение графика

На основе проведенного анализа можно сделать выводы о поведении графика. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, проходит через начало координат. Она строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Таким образом, область значений функции — все действительные числа. График не имеет экстремумов и асимптот. В точке $(0,0)$ имеется точка перегиба и вертикальная касательная. При $x<0$ график вогнут, а при $x>0$ — выпуклый.

Ключевые точки для построения: $(-32, -2)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Ответ: Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. График представляет собой соединение двух ветвей: ветви функции $y=\sqrt[5]{x}$ для $x<0$ и ветви функции $y=\sqrt{x}$ для $x \ge 0$.