Номер 34.13, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.13, страница 132.

Постройте и прочитайте график функции:

34.13 $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt[4]{x}, & \text{если } x \geq 0. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt[4]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика

График данной функции состоит из двух частей, определённых на разных промежутках.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$, растянутая в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с параболой $y=x^2$. Для построения мы берем только левую ветвь этой параболы, так как она определена для $x < 0$. Точка $(0, 0)$ является предельной для этой части графика, но не принадлежит ей (на графике её отмечают "выколотой" точкой), так как неравенство строгое.
Вычислим координаты нескольких контрольных точек:
- если $x = -1$, то $y = 2(-1)^2 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
- если $x = -2$, то $y = 2(-2)^2 = 8$. Точка $(-2, 8)$.

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = \sqrt[4]{x}$. Это график степенной функции, который является ветвью параболы $x=y^4$, лежащей в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает. Точка $(0, 0)$ принадлежит этой части графика, так как неравенство нестрогое ($x \ge 0$).
Вычислим координаты нескольких контрольных точек:
- если $x = 0$, то $y = \sqrt[4]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
- если $x = 1$, то $y = \sqrt[4]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
- если $x = 16$, то $y = \sqrt[4]{16} = 2$. Точка $(16, 2)$.

Соединяем обе части графика. В точке $x=0$ первая часть графика стремится к значению $y=0$ ($\lim_{x \to 0^-} 2x^2 = 0$), а вторая часть начинается со значения $y=0$ ($y(0)=\sqrt[4]{0}=0$). Это означает, что в точке $x=0$ разрыва нет, и график является непрерывной линией.

Свойства функции (чтение графика)

1. Область определения: Функция определена на объединении промежутков $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$, что составляет всю числовую ось.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: При $x < 0$, $y = 2x^2 > 0$. При $x \ge 0$, $y = \sqrt[4]{x} \ge 0$. Таким образом, функция принимает все неотрицательные значения.
Ответ: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: Найдем $x$, при которых $y=0$.
- Уравнение $2x^2 = 0$ имеет корень $x=0$, который не входит в промежуток $x < 0$.
- Уравнение $\sqrt[4]{x} = 0$ имеет корень $x=0$, который входит в промежуток $x \ge 0$.
Следовательно, у функции один нуль.
Ответ: $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: Функция равна нулю только при $x=0$. Для всех остальных $x \ne 0$, значение функции положительно.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; нет промежутков, где $y < 0$.

5. Монотонность: На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y=2x^2$ убывает.
На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y=\sqrt[4]{x}$ возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

6. Экстремумы: В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, $x=0$ — точка минимума.
Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.
Точек максимума у функции нет.
Ответ: $y_{min} = 0$ при $x=0$.

7. Четность и нечетность: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля. Проверим, выполняется ли равенство $y(-x) = y(x)$ или $y(-x) = -y(x)$.
Возьмем $x=1$: $y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.
Возьмем $x=-1$: $y(-1) = 2(-1)^2 = 2$.
Так как $y(-1) \ne y(1)$ и $y(-1) \ne -y(1)$, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: функция общего вида.

8. Непрерывность: На каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ функция непрерывна как элементарная. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$.
Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x^2 = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt[4]{x} = 0$.
Значение функции в точке: $y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.
Так как пределы слева и справа равны значению функции в точке, функция непрерывна при $x=0$.
Ответ: функция непрерывна на всей области определения.

9. Ограниченность: Из области значений $E(y) = [0; +\infty)$ следует, что функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена, так как при $x \to \pm\infty$ значения $y \to +\infty$.
Ответ: функция ограничена снизу.