Номер 34.7, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.7, страница 132.

34.7 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$:

a) на отрезке $[-1; 1];

б) на луче $(-\infty; 1];

в) на отрезке $[-32; 32];

г) на луче $[2; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt[5]{x}$ на заданных промежутках, сначала проанализируем её поведение.

Функция $y = x^{1/5}$ определена для всех действительных чисел $x$. Найдем её производную: $y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Знаменатель $\sqrt[5]{x^4}$ положителен для всех $x \neq 0$ (так как $x^4 > 0$). Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$. Это означает, что функция $y = \sqrt[5]{x}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его левом конце, а наибольшее — в правом. Для луча значение достигается на его конечном конце, а на бесконечности функция не ограничена (если луч уходит в бесконечность).

а) на отрезке [-1; 1]
Поскольку функция строго возрастает, наименьшее значение будет при $x = -1$, а наибольшее — при $x = 1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1$, наибольшее значение $y_{наиб} = 1$.

б) на луче $(-\infty; 1]$
Так как функция строго возрастает, наибольшее значение на этом луче достигается в его крайней правой точке $x = 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.
Поскольку луч уходит в $-\infty$, а функция неограничена снизу (при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$), наименьшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 1$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [-32; 32]
На отрезке $[-32; 32]$ возрастающая функция принимает наименьшее значение в его левом конце, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-32) = \sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(32) = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 2$.

г) на луче $[2; +\infty)$
На луче $[2; +\infty)$ возрастающая функция принимает наименьшее значение в его крайней левой точке $x = 2$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \sqrt[5]{2}$.
Поскольку луч уходит в $+\infty$, а функция неограничена сверху (при $x \to +\infty$, $y \to +\infty$), наибольшего значения на данном луче не существует.
Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = \sqrt[5]{2}$, наибольшего значения не существует.