Номер 34.6, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.6, страница 132.

34.6 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[4]{x}$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[5; 16]$;

г) на луче $[16; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt[4]{x}$ на различных промежутках, сначала исследуем ее на монотонность. Область определения функции — $x \ge 0$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

При $x > 0$ производная $y' > 0$, следовательно, функция $y = \sqrt[4]{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. На замкнутом отрезке $[a, b]$ наименьшее значение будет достигаться в левой границе $x=a$, а наибольшее — в правой границе $x=b$.

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция возрастает, наименьшее значение на отрезке она принимает в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на полуинтервале [1; 3)

Функция возрастает на этом промежутке. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, которая входит в полуинтервал.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Правая граница $x=3$ не принадлежит полуинтервалу. Значения функции стремятся к $y(3) = \sqrt[4]{3}$, но никогда не достигают этого значения. Следовательно, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [5; 16]

На данном отрезке функция возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x=5$, а наибольшее — в точке $x=16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = \sqrt[4]{5}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt[4]{5}$, наибольшее значение равно 2.

г) на луче [16; +∞)

На этом луче функция возрастает. Наименьшее значение достигается в начальной точке луча $x=16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$.

Поскольку аргумент $x$ неограниченно возрастает ($x \to +\infty$), значение функции $y = \sqrt[4]{x}$ также неограниченно возрастает. Таким образом, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 2, наибольшего значения не существует.