Номер 34.17, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.17, страница 133.

34.17 a) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5};$

б) $y = \sqrt[7]{x^3 - 1};$

В) $y = \sqrt[9]{6x - 7};$

Г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}.$

а)

Дана функция $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$.

Для нахождения производной этой функции, представим ее в виде степенной функции: $y = (x^2 + 5)^{\frac{1}{3}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{3}}$, а внутренняя функция $g(x) = x^2 + 5$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = \frac{1}{3}u^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}$

$g'(x) = (x^2 + 5)' = 2x$

Теперь подставляем найденные производные в цепное правило:

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + 5)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x)$

Упростим выражение, записав его в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = \frac{2x}{3(x^2 + 5)^{\frac{2}{3}}} = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 5)^2}}$

Ответ: $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 5)^2}}$.

б)

Дана функция $y = \sqrt[7]{x^3 - 1}$.

Представим функцию в виде степени: $y = (x^3 - 1)^{\frac{1}{7}}$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{7}}$, внутренняя $g(x) = x^3 - 1$.

Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{7}u^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}u^{-\frac{6}{7}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (x^3 - 1)' = 3x^2$.

По цепному правилу:

$y' = \frac{1}{7}(x^3 - 1)^{-\frac{6}{7}} \cdot (3x^2)$

Упрощая, получаем:

$y' = \frac{3x^2}{7(x^3 - 1)^{\frac{6}{7}}} = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3 - 1)^6}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3 - 1)^6}}$.

в)

Дана функция $y = \sqrt[9]{6x - 7}$.

Представим ее в виде степенной функции: $y = (6x - 7)^{\frac{1}{9}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{9}}$, внутренняя $g(x) = 6x - 7$.

Находим производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{9}u^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}u^{-\frac{8}{9}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (6x - 7)' = 6$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{9}(6x - 7)^{-\frac{8}{9}} \cdot 6$

Упростим выражение, сократив дробь $\frac{6}{9}$ на 3:

$y' = \frac{6}{9}(6x - 7)^{-\frac{8}{9}} = \frac{2}{3}(6x - 7)^{-\frac{8}{9}} = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x - 7)^8}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x - 7)^8}}$.

г)

Дана функция $y = \sqrt[5]{2x + 1}$.

Представим ее в виде степенной функции: $y = (2x + 1)^{\frac{1}{5}}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^{\frac{1}{5}}$, внутренняя $g(x) = 2x + 1$.

Находим производные:

Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{5}u^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}u^{-\frac{4}{5}}$.

Производная внутренней функции: $g'(x) = (2x + 1)' = 2$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{5}(2x + 1)^{-\frac{4}{5}} \cdot 2$

Упростим выражение:

$y' = \frac{2}{5(2x + 1)^{\frac{4}{5}}} = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x + 1)^4}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x + 1)^4}}$.