Номер 34.23, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.23, страница 134.

34.23 a) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$;

Б) $y = \sqrt[5]{x} - 3$;

В) $y = \sqrt[6]{x} - 3$;

Г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$.

а) $y = 2 + \sqrt[4]{x}$

Для нахождения области определения и области значений функции проанализируем ее составляющие.

Область определения (D(y)): Функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). По определению корня четной степени, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным. В данном случае это $x$. Следовательно, мы должны иметь $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это все неотрицательные числа. $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)): Значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно. То есть, $\sqrt[4]{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Функция $y$ получается прибавлением 2 к значению $\sqrt[4]{x}$. Так как наименьшее значение $\sqrt[4]{x}$ равно 0 (при $x=0$), наименьшее значение $y$ будет: $y_{min} = 2 + 0 = 2$. При увеличении $x$, значение $\sqrt[4]{x}$ неограниченно возрастает, а значит, и $y$ тоже. Следовательно, $y \ge 2$. Область значений функции: $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; область значений: $[2; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{x} - 3$

Область определения (D(y)): Функция содержит корень нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Поэтому $x$ может быть любым действительным числом. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = R$.

Область значений (E(y)): Выражение $\sqrt[5]{x}$ может принимать любое действительное значение, когда $x$ пробегает все действительные числа. Например, если $x$ отрицательно, то и $\sqrt[5]{x}$ отрицательно. Если $x$ стремится к $+\infty$, то и $\sqrt[5]{x}$ стремится к $+\infty$. Функция $y$ получается вычитанием 3 из значения $\sqrt[5]{x}$. Так как $\sqrt[5]{x}$ может быть любым действительным числом, то и $y = \sqrt[5]{x} - 3$ также может быть любым действительным числом. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = R$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{x} - 3$

Область определения (D(y)): Функция содержит корень четной степени (корень 6-й степени). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)): Арифметический корень четной степени $\sqrt[6]{x}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Наименьшее значение $\sqrt[6]{x}$ равно 0 (при $x=0$). Функция $y$ получается вычитанием 3 из $\sqrt[6]{x}$. Следовательно, наименьшее значение $y$: $y_{min} = 0 - 3 = -3$. При увеличении $x$, значение $y$ неограниченно возрастает. Таким образом, $y \ge -3$. Область значений функции: $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$; область значений: $[-3; +\infty)$.

г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}$

Область определения (D(y)): Функция содержит корень нечетной степени (кубический корень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа $x$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = R$.

Область значений (E(y)): Выражение $\sqrt[3]{x}$ может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные и ноль). Функция $y$ получается прибавлением 2 к значению $\sqrt[3]{x}$. Поскольку множество значений для $\sqrt[3]{x}$ — это все действительные числа, то и после прибавления 2 множество значений останется тем же. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = R$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$; область значений: $(-\infty; +\infty)$.