Номер 34.26, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.26, страница 134.

34.26 a) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - 1}{x - 1}} + 1;$

б) $y = \sqrt[5]{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3}} - 2x.$

а) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 1}$

Для нахождения области определения (ОДЗ) данной функции необходимо выполнение двух условий.

1. Выражение под корнем четной степени (в данном случае, четвертой) должно быть неотрицательным:

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} + 1 \ge 0$

2. Знаменатель дроби, входящей в подкоренное выражение, не должен равняться нулю:

$x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Теперь решим неравенство из первого условия. Упростим подкоренное выражение. Для этого разложим числитель дроби $x^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} + 1 \ge 0$

Так как мы уже установили, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 1)$:

$(x + 1) + 1 \ge 0$

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Объединим полученное решение $x \ge -2$ с ограничением $x \neq 1$. Область определения функции состоит из всех значений $x$, которые больше или равны -2, за исключением точки $x=1$.

Ответ: $D(y) = [-2; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x}$

Для нахождения области определения этой функции проанализируем ее.

1. Функция содержит корень нечетной степени (пятой). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Следовательно, никаких ограничений на знак выражения $\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x$ не накладывается.

2. Единственное ограничение возникает из-за наличия дроби в подкоренном выражении: ее знаменатель не должен быть равен нулю.

$x - 3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.

Это и есть единственное условие, определяющее область определения функции. Для полноты анализа упростим подкоренное выражение. Найдем корни квадратного трехчлена в числителе $3x^2 - 8x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, числитель можно разложить на множители: $3x^2 - 8x - 3 = 3(x - 3)(x + \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x + 1)$.

Подставим полученное разложение в подкоренное выражение:

$\frac{(x - 3)(3x + 1)}{x - 3} - 2x$

При условии $x \neq 3$ мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$(3x + 1) - 2x = x + 1$

Таким образом, при $x \neq 3$ исходная функция эквивалентна функции $y = \sqrt[5]{x+1}$. Область определения этой упрощенной функции — все действительные числа. Однако, из-за наличия знаменателя $(x-3)$ в исходной функции, точка $x=3$ должна быть исключена.

Следовательно, областью определения исходной функции являются все действительные числа, кроме 3.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.