Номер 34.24, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§34. Функции у = n√х, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 34.24, страница 134.

34.24 Найдите наименьшее значение функции:

a) $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8}$;

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$.

а) $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8}$

Для нахождения наименьшего значения данной функции необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $f(x) = x^2 - 6x + 8$, так как функция $g(t) = \sqrt[4]{t}$ является возрастающей на всей своей области определения ($t \ge 0$).

Область определения функции $y$ задается условием $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 - 6x + 8$ направлены вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$. Это и есть область определения исходной функции.

Теперь найдем наименьшее значение выражения $f(x) = x^2 - 6x + 8$ на этой области определения. Минимум квадратичной функции $f(x)$ достигается в вершине параболы, абсцисса которой $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Однако, точка $x=3$ не принадлежит области определения функции $y$.

Значит, наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ на области определения достигается в точках, ближайших к вершине, то есть в точках $x=2$ и $x=4$.

Проверим значения $f(x)$ в этих точках:
$f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$
$f(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$

Таким образом, наименьшее значение подкоренного выражения на области определения функции равно 0.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = \sqrt[4]{0} = 0$.

Ответ: 0.

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 10}$

Аналогично предыдущему пункту, для нахождения наименьшего значения функции $y$ найдем наименьшее значение подкоренного выражения $f(x) = x^2 + 6x + 10$, так как функция $g(t) = \sqrt[6]{t}$ является возрастающей при $t \ge 0$.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(x) = x^2 + 6x + 10$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Следовательно, функция имеет точку минимума.

Найдем наименьшее значение этой функции. Его можно найти, определив координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Значение функции в точке минимума: $f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$.

Также можно выделить полный квадрат:
$x^2 + 6x + 10 = (x^2 + 6x + 9) + 1 = (x+3)^2 + 1$.
Поскольку $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение выражения $(x+3)^2 + 1$ равно 1 и достигается при $x = -3$.

Так как наименьшее значение подкоренного выражения равно 1 (что больше 0), область определения исходной функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Наименьшее значение функции $y$ будет равно корню шестой степени из наименьшего значения подкоренного выражения: $y_{min} = \sqrt[6]{1} = 1$.

Ответ: 1.