Номер 35.7, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§35. Свойства корня n-й степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 35.7, страница 135.

Вычислите:

35.7 а) $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4}$;

б) $\sqrt[3]{135} \cdot \sqrt[3]{25}$;

в) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$;

г) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{486}$.

а) Для вычисления произведения корней с одинаковым показателем используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{4 \cdot 4} = \sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то корень четвертой степени из 16 равен 2.

Ответ: 2

б) Используем то же свойство произведения корней:

$\sqrt[3]{135} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{135 \cdot 25}$

Для упрощения вычисления разложим числа под корнем на множители. Зная, что $135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3$ и $25 = 5^2$, получаем:

$\sqrt[3]{(5 \cdot 3^3) \cdot 5^2} = \sqrt[3]{5^1 \cdot 5^2 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(5 \cdot 3)^3} = \sqrt[3]{15^3} = 15$

Ответ: 15

в) Произведение квадратных корней вычисляется по тому же правилу $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100}$

Корень квадратный из 100 равен 10, так как $10^2 = 100$.

Ответ: 10

г) Применяем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{16 \cdot 486}$

Разложим подкоренные выражения на простые множители, чтобы найти множители в пятой степени. $16 = 2^4$ и $486 = 2 \cdot 243 = 2 \cdot 3^5$.

$\sqrt[5]{16 \cdot 486} = \sqrt[5]{2^4 \cdot (2 \cdot 3^5)} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 2^1) \cdot 3^5} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{(2 \cdot 3)^5} = \sqrt[5]{6^5} = 6$

Ответ: 6