Номер 33.11, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.11, страница 130.

Решите уравнение:

33.11 a) $x^3 = 125$;

б) $x^7 = \frac{1}{128}$;

в) $x^5 = 32$;

г) $x^9 = 1$.

а) Дано уравнение $x^3 = 125$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из обеих частей уравнения. Так как показатель степени 3 является нечетным числом, уравнение имеет единственный действительный корень. $x = \sqrt[3]{125}$. Мы знаем, что $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$. Следовательно, $x = 5$.
Ответ: $5$.

б) Дано уравнение $x^7 = \frac{1}{128}$. Чтобы найти $x$, извлечем корень седьмой степени из обеих частей. Показатель степени 7 — нечетное число, поэтому уравнение имеет один действительный корень. $x = \sqrt[7]{\frac{1}{128}}$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем $x = \frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{128}}$. Так как $1^7 = 1$ и $2^7 = 128$, то $\sqrt[7]{1} = 1$ и $\sqrt[7]{128} = 2$. Таким образом, $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Дано уравнение $x^5 = 32$. Для решения извлечем корень пятой степени из обеих частей. Поскольку 5 — это нечетное число, уравнение имеет единственный действительный корень. $x = \sqrt[5]{32}$. Мы знаем, что $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$. Значит, $x = 2$.
Ответ: $2$.

г) Дано уравнение $x^9 = 1$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень девятой степени из обеих частей уравнения. Показатель степени 9 является нечетным, поэтому корень будет единственным. $x = \sqrt[9]{1}$. Любая степень числа 1 равна 1, поэтому $1^9 = 1$. Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$.