Номер 33.15, страница 130, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§33. Понятие корня n-й степени из действительного числа. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 33.15, страница 130.

33.15 a) $\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3;$

б) $\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2;$

В) $\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1;$

Г) $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1.$

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19} = -3$.

Так как показатель корня является нечетным числом (3), мы можем возвести обе части уравнения в третью степень. Это преобразование является равносильным.

$(\sqrt[3]{x^2 - 9x - 19})^3 = (-3)^3$

В результате получаем:

$x^2 - 9x - 19 = -27$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - 9x - 19 + 27 = 0$

$x^2 - 9x + 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком (9), а произведение корней равно свободному члену (8). Корнями являются числа 1 и 8.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{9 - 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Так как возведение в нечетную степень является равносильным преобразованием, проверка не требуется.

Ответ: 1; 8

б)

Дано уравнение $\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25} = 2$.

Подкоренное выражение $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности $(x-5)^2$.

Уравнение принимает вид $\sqrt[4]{(x-5)^2} = 2$.

Показатель корня — четное число (4). Возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{x^2 - 10x + 25})^4 = 2^4$

$x^2 - 10x + 25 = 16$

Перенесем 16 в левую часть:

$x^2 - 10x + 25 - 16 = 0$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна 10, произведение равно 9. Корни: 1 и 9.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 = 8^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 8}{2}$

$x_1 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$

При возведении в четную степень могли появиться посторонние корни. Выполним проверку. Условие существования корня: $x^2 - 10x + 25 \ge 0$. Это условие выполняется для всех $x$, так как $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$, а квадрат любого числа неотрицателен. Правая часть исходного уравнения $2 > 0$. Таким образом, найденные корни являются решениями.

Ответ: 1; 9

в)

Дано уравнение $\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57} = -1$.

Показатель корня — нечетное число (7), поэтому можно возвести обе части уравнения в седьмую степень:

$(\sqrt[7]{2x^2 + 6x - 57})^7 = (-1)^7$

$2x^2 + 6x - 57 = -1$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 6x - 57 + 1 = 0$

$2x^2 + 6x - 56 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 3x - 28 = 0$

Решим по теореме Виета: сумма корней равна -3, произведение равно -28. Корни: -7 и 4.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 11}{2}$

$x_1 = \frac{-3 - 11}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Так как исходное преобразование было равносильным, оба корня подходят.

Ответ: -7; 4

г)

Дано уравнение $\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13} = 1$.

Показатель корня — четное число (6). Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x^2 + 7x + 13})^6 = 1^6$

$x^2 + 7x + 13 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$x^2 + 7x + 13 - 1 = 0$

$x^2 + 7x + 12 = 0$

Решим по теореме Виета: сумма корней равна -7, произведение равно 12. Корни: -3 и -4.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 = 1^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим условие существования корня: $x^2 + 7x + 13 \ge 0$. Найдем дискриминант трехчлена $x^2 + 7x + 13$: $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 49 - 52 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), то выражение $x^2 + 7x + 13$ всегда положительно. Правая часть исходного уравнения $1 > 0$. Следовательно, посторонних корней нет.

Ответ: -4; -3