Номер 36.3, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.3, страница 137.

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

36.3 а) $\sqrt{x^3};$

б) $\sqrt[3]{a^4};$

в) $\sqrt[5]{m^7};$

г) $\sqrt[4]{n^{13}}.$

а)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{x^3}$, необходимо представить подкоренное выражение $x^3$ в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом. Используя свойство степеней, получаем: $x^3 = x^2 \cdot x$.

Теперь подставим это разложение обратно под корень:

$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x}$

Согласно свойству корня из произведения ($\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для неотрицательных $a$ и $b$), мы можем разделить корень:

$\sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x}$

По условию задачи, переменная $x$ принимает только неотрицательные значения ($x \ge 0$), поэтому $\sqrt{x^2} = x$.

Таким образом, окончательное выражение выглядит так:

$\sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$

Ответ: $x\sqrt{x}$.

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{a^4}$. Показатель корня равен 3. Представим подкоренное выражение $a^4$ в виде произведения, где один из множителей является полным кубом: $a^4 = a^3 \cdot a$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a}$

Используем свойство корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a}$

Так как по условию $a \ge 0$, то $\sqrt[3]{a^3} = a$.

В результате получаем:

$\sqrt[3]{a^4} = a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

в)

В выражении $\sqrt[5]{m^7}$ показатель корня равен 5. Чтобы вынести множитель, представим степень $m^7$ в виде произведения, в котором показатель степени одного из множителей будет кратен 5. Для этого разделим 7 на 5 с остатком: $7 = 5 \cdot 1 + 2$.

Следовательно, $m^7 = m^5 \cdot m^2$.

Тогда выражение можно переписать как:

$\sqrt[5]{m^7} = \sqrt[5]{m^5 \cdot m^2}$

Применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[5]{m^5 \cdot m^2} = \sqrt[5]{m^5} \cdot \sqrt[5]{m^2}$

Поскольку $m$ — неотрицательная переменная, $\sqrt[5]{m^5} = m$.

Получаем:

$\sqrt[5]{m^7} = m\sqrt[5]{m^2}$

Ответ: $m\sqrt[5]{m^2}$.

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{n^{13}}$. Показатель корня равен 4. Представим $n^{13}$ в виде произведения, где показатель степени одного из множителей кратен 4. Разделим 13 на 4 с остатком: $13 = 4 \cdot 3 + 1$.

Это означает, что $n^{13} = n^{4 \cdot 3} \cdot n^1 = n^{12} \cdot n = (n^3)^4 \cdot n$.

Подставим это разложение в корень:

$\sqrt[4]{n^{13}} = \sqrt[4]{(n^3)^4 \cdot n}$

Используем свойство корня из произведения:

$\sqrt[4]{(n^3)^4 \cdot n} = \sqrt[4]{(n^3)^4} \cdot \sqrt[4]{n}$

По условию $n \ge 0$, следовательно $n^3$ также неотрицательно, и $\sqrt[4]{(n^3)^4} = n^3$.

В итоге получаем:

$\sqrt[4]{n^{13}} = n^3\sqrt[4]{n}$

Ответ: $n^3\sqrt[4]{n}$.