Номер 36.6, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §36. Преобразование выражений, содержащих радикалы - номер 36.6, страница 138.

Условие.

36.6 Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения:

а) $\sqrt{a^2b}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b}$;

в) $\sqrt[4]{a^4b}$;

г) $\sqrt{a^5b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^2b}$. Так как корень квадратный (четной степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^2b \ge 0$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, это условие выполняется только если $b \ge 0$. Используем свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$): $\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b}$. По основному свойству арифметического корня четной степени, $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$, в нашем случае $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, получаем: $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$.
Ответ: $|a|\sqrt{b}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{a^3b}$. Так как корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на знаки переменных $a$ и $b$ не накладывается. Используем свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$: $\sqrt[3]{a^3b} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b}$. Для корня нечетной степени $n$ справедливо равенство $\sqrt[n]{x^n} = x$ для любого действительного $x$. В нашем случае $n=3$, поэтому $\sqrt[3]{a^3} = a$. Таким образом, получаем: $\sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b}$.
Ответ: $a\sqrt[3]{b}$

в)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{a^4b}$. Так как корень четвертой степени (четной степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^4b \ge 0$. Поскольку $a^4 \ge 0$ для любого действительного значения $a$, это условие выполняется только если $b \ge 0$. Используем свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$): $\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b}$. Для корня четной степени $n$ справедливо равенство $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для любого действительного $x$. В нашем случае $n=4$, поэтому $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Таким образом, получаем: $\sqrt[4]{a^4b} = |a|\sqrt[4]{b}$.
Ответ: $|a|\sqrt[4]{b}$

г)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^5b}$. Это корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^5b \ge 0$. Чтобы вынести множитель, представим $a^5$ в виде произведения, содержащего множитель в четной степени. $a^5 = a^4 \cdot a$. Тогда выражение под корнем можно переписать как $a^4 \cdot a \cdot b = a^4(ab)$. $\sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4(ab)} = \sqrt{a^4}\sqrt{ab}$. Вычисляем корень из первого множителя: $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2}$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно, $\sqrt{(a^2)^2} = a^2$. Следовательно, $\sqrt{a^5b} = a^2\sqrt{ab}$. Проверим область определения. Исходное выражение определено при $a^5b \ge 0$. Полученное выражение определено при $ab \ge 0$. Эти условия эквивалентны, так как знак произведения $a^5b$ совпадает со знаком произведения $ab$ (или оба равны нулю).
Ответ: $a^2\sqrt{ab}$