Номер 36.12, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.12, страница 138.

Выполните действия:

36.12 а) $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$;

б) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5})$;

в) $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$;

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$.

а) $(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае, пусть $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = 2\sqrt[3]{n}$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[3]{m})^2 - (2\sqrt[3]{n})^2$

Теперь возведем каждый член в квадрат:

$(\sqrt[3]{m})^2 = m^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{m^2}$

$(2\sqrt[3]{n})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt[3]{n})^2 = 4 \cdot n^{\frac{2}{3}} = 4\sqrt[3]{n^2}$

Таким образом, итоговое выражение равно:

$\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$

б) $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5})$

Чтобы использовать формулу разности квадратов, переставим слагаемые во второй скобке:

$(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})$

Теперь применим формулу $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x = \sqrt[3]{5}$ и $y = \sqrt{3}$.

$(\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt{3})^2$

Вычислим значения квадратов:

$(\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

В результате получаем:

$\sqrt[3]{25} - 3$

Ответ: $\sqrt[3]{25} - 3$

в) $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$

Это выражение является классическим примером формулы разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = a$ и $y = \sqrt{b}$.

Применяя формулу, получаем:

$a^2 - (\sqrt{b})^2$

Так как $(\sqrt{b})^2 = b$, выражение упрощается до:

$a^2 - b$

Ответ: $a^2 - b$

г) $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$

Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы привести выражение к удобному виду:

$(2\sqrt{2} + \sqrt[3]{4})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$

Это снова формула разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = 2\sqrt{2}$ и $y = \sqrt[3]{4}$.

Применим формулу:

$(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt[3]{4})^2$

Вычислим каждый член по отдельности:

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$(\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16}$

Упростим $\sqrt[3]{16}$, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$

Подставим вычисленные значения в выражение:

$8 - 2\sqrt[3]{2}$

Ответ: $8 - 2\sqrt[3]{2}$