Номер 36.19, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §36. Преобразование выражений, содержащих радикалы - номер 36.19, страница 139.

Условие.

36.19 а) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1}$;

в) $\frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$;

г) $\frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a} - \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}} $.
Для упрощения представим корни в виде степеней с дробными показателями: $ \sqrt{a} = a^{1/2} $, $ \sqrt[3]{b^2} = b^{2/3} $, $ \sqrt[4]{a} = a^{1/4} $, $ \sqrt[3]{b} = b^{1/3} $.
Выражение примет вид: $ \frac{a^{1/2} - b^{2/3}}{a^{1/4} - b^{1/3}} $.
Заметим, что числитель можно представить как разность квадратов. Так как $ a^{1/2} = (a^{1/4})^2 $ и $ b^{2/3} = (b^{1/3})^2 $, то числитель является разностью квадратов выражений $ a^{1/4} $ и $ b^{1/3} $.
Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $, где $ x = a^{1/4} $ и $ y = b^{1/3} $:
$ a^{1/2} - b^{2/3} = (a^{1/4})^2 - (b^{1/3})^2 = (a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3}) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(a^{1/4} - b^{1/3})(a^{1/4} + b^{1/3})}{a^{1/4} - b^{1/3}} $.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе $ (a^{1/4} - b^{1/3}) $:
$ a^{1/4} + b^{1/3} $.
Вернемся к записи с корнями: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[3]{b} $

б)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[5]{x^9} - 1}{\sqrt[5]{x^3} - 1} $.
Представим корни в виде степеней: $ \sqrt[5]{x^9} = x^{9/5} $, $ \sqrt[5]{x^3} = x^{3/5} $.
Выражение примет вид: $ \frac{x^{9/5} - 1}{x^{3/5} - 1} $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ y = x^{3/5} $. Тогда $ y^3 = (x^{3/5})^3 = x^{9/5} $.
Подставив $ y $, получим выражение: $ \frac{y^3 - 1}{y - 1} $.
Это формула для разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $. Применив ее, получаем:
$ \frac{(y - 1)(y^2 + y \cdot 1 + 1^2)}{y - 1} = y^2 + y + 1 $.
Теперь выполним обратную замену, подставив $ y = x^{3/5} $:
$ (x^{3/5})^2 + x^{3/5} + 1 = x^{6/5} + x^{3/5} + 1 $.
Запишем результат в виде корней: $ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $.
Можно также упростить первый член: $ \sqrt[5]{x^6} = \sqrt[5]{x^5 \cdot x} = x\sqrt[5]{x} $.
Тогда выражение будет $ x\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $. Оба варианта записи корректны.
Ответ: $ \sqrt[5]{x^6} + \sqrt[5]{x^3} + 1 $

в)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{b} - a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}} $.
Представим все члены в виде степеней с дробными показателями:
$ \sqrt{b} = b^{1/2} $
$ a\sqrt{a} = a^1 \cdot a^{1/2} = a^{3/2} $
$ \sqrt[4]{b} = b^{1/4} $
Выражение примет вид: $ \frac{b^{1/2} - a^3}{a^{3/2} + b^{1/4}} $.
Заметим, что числитель можно представить в виде разности квадратов: $ b^{1/2} = (b^{1/4})^2 $ и $ a^3 = (a^{3/2})^2 $.
Применим формулу $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $, где $ x = b^{1/4} $ и $ y = a^{3/2} $:
$ b^{1/2} - a^3 = (b^{1/4})^2 - (a^{3/2})^2 = (b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2}) $.
Подставим это в исходную дробь:
$ \frac{(b^{1/4} - a^{3/2})(b^{1/4} + a^{3/2})}{a^{3/2} + b^{1/4}} $.
Сократим одинаковые множители $ (b^{1/4} + a^{3/2}) $:
$ b^{1/4} - a^{3/2} $.
Вернемся к записи с корнями: $ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $.
Ответ: $ \sqrt[4]{b} - a\sqrt{a} $

г)Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{a} - b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt{b}} $.
Представим все члены в виде степеней:
$ \sqrt{a} = a^{1/2} $
$ b\sqrt{b} = b^1 \cdot b^{1/2} = b^{3/2} $
$ \sqrt[6]{a} = a^{1/6} $
$ \sqrt{b} = b^{1/2} $
Выражение примет вид: $ \frac{a^{1/2} - b^{3/2}}{a^{1/6} - b^{1/2}} $.
Сделаем замену. Пусть $ x = a^{1/6} $ и $ y = b^{1/2} $.
Тогда $ x^3 = (a^{1/6})^3 = a^{3/6} = a^{1/2} $ и $ y^3 = (b^{1/2})^3 = b^{3/2} $.
Подставив $ x $ и $ y $, получим выражение: $ \frac{x^3 - y^3}{x - y} $.
Применим формулу для разности кубов $ \frac{a^3-b^3}{a-b} = a^2+ab+b^2 $:
$ \frac{x^3 - y^3}{x - y} = x^2 + xy + y^2 $.
Выполним обратную замену:
$ (a^{1/6})^2 + (a^{1/6})(b^{1/2}) + (b^{1/2})^2 = a^{2/6} + a^{1/6}b^{1/2} + b^1 = a^{1/3} + a^{1/6}b^{1/2} + b $.
Запишем результат в виде корней: $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a}\sqrt{b} + b $.
Для приведения второго слагаемого к одному корню, представим $ \sqrt{b} $ как $ \sqrt[6]{b^3} $:
$ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b^3} + b = \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab^3} + b $.
Ответ: $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab^3} + b $