Номер 36.18, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §36. Преобразование выражений, содержащих радикалы - номер 36.18, страница 139.

Условие.

36.18 a) $\frac{\sqrt{a} - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$;

В) $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}$;

б) $\frac{3\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$;

Г) $\frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{a} - 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$.
Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[3]{b}$. Тогда:
$x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = a^{\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$
$y^2 = (\sqrt[3]{b})^2 = b^{\frac{1}{3} \cdot 2} = b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}$
$2xy = 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$
Следовательно, числитель $\sqrt{a} - 2\sqrt[4]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2}$ можно записать как $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b})$:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}$
Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[3]{b}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}}$.
Знаменатель дроби является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = 2\sqrt[3]{n}$. Тогда:
$x^2 = (\sqrt[3]{m})^2 = \sqrt[3]{m^2}$
$y^2 = (2\sqrt[3]{n})^2 = 4(\sqrt[3]{n})^2 = 4\sqrt[3]{n^2}$
$2xy = 2 \cdot \sqrt[3]{m} \cdot 2\sqrt[3]{n} = 4\sqrt[3]{mn}$
Следовательно, знаменатель $4\sqrt[3]{n^2} + 4\sqrt[3]{mn} + \sqrt[3]{m^2}$ можно записать как $(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}{(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n})$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b}$.
Знаменатель дроби является полным квадратом суммы. Преобразуем его, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt{b}$. Тогда:
$x^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt{a}$
$y^2 = (\sqrt{b})^2 = b$
$2xy = 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt{b} = 2 \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{b^2} = 2\sqrt[4]{ab^2}$
Следовательно, знаменатель $\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab^2} + b$ можно записать как $(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})^2}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt{b})$:
$\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt{b}}$.

г) Рассмотрим выражение $\frac{\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$.
Числитель дроби является полным квадратом суммы. Преобразуем его, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Пусть $x = a\sqrt{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда:
$x^2 = (a\sqrt{a})^2 = (a^{3/2})^2 = a^3$
$y^2 = (\sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{b}$
$2xy = 2 \cdot a\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{b} = 2a \cdot a^{1/2} \cdot b^{1/4} = 2a \cdot (a^2)^{1/4} \cdot b^{1/4} = 2a\sqrt[4]{a^2b}$
Следовательно, числитель $\sqrt{b} + 2a\sqrt[4]{a^2b} + a^3$ можно записать как $(a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})^2$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{(a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})^2}{a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}}$
Сократим дробь на общий множитель $(a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b})$:
$a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}$
Ответ: $a\sqrt{a} + \sqrt[4]{b}$.