Номер 36.24, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.24, страница 140.

36.24 Найдите значение выражения:

а) $\frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2};$

б) $\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1};$

в) $\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}};$

г) $\frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2}.$

а) Найдем значение выражения $\frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2}$.
Сначала упростим знаменатель. Для этого преобразуем $\sqrt[4]{8}$ и вынесем общий множитель за скобки:
$\sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2^3}$
$(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2 = (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2^3})^2 = (\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt[4]{2^2}))^2$
Так как $\sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$, получаем:
$(\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt{2}))^2 = (\sqrt[4]{2})^2(1 - \sqrt{2})^2 = \sqrt{2}(1^2 - 2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = \sqrt{2}(1 - 2\sqrt{2} + 2) = \sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2})$
Раскроем скобки: $3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4$.
Теперь подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$\frac{4 - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 4}$
Вынесем $-1$ за скобки в числителе:
$\frac{-(3\sqrt{2} - 4)}{3\sqrt{2} - 4} = -1$
Ответ: -1

б) Найдем значение выражения $\frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1}$.
Рассмотрим знаменатель. Заметим, что $\sqrt[3]{3} = (\sqrt[6]{3})^2$. Тогда знаменатель можно представить в виде формулы квадрата суммы:
$\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1 = (\sqrt[6]{3})^2 + 2\sqrt[6]{3} + 1 = (\sqrt[6]{3} + 1)^2$.
Теперь преобразуем числитель. Представим $\sqrt[3]{9}$ и $\sqrt{3}$ через корень шестой степени и вынесем общий множитель:
$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3} = 3^{4/6} = \sqrt[6]{3^4}$
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{3/6} = \sqrt[6]{3^3}$
Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ из скобок в числителе. Для этого представим $\sqrt[3]{9}$ как произведение:
$\sqrt[3]{9} = 3^{2/3} = 3^{1/2 + 1/6} = 3^{1/2} \cdot 3^{1/6} = \sqrt{3}\sqrt[6]{3}$.
$(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3}\sqrt[6]{3} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3}(\sqrt[6]{3} + 1))^2 = (\sqrt{3})^2(\sqrt[6]{3} + 1)^2 = 3(\sqrt[6]{3} + 1)^2$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$\frac{3(\sqrt[6]{3} + 1)^2}{(\sqrt[6]{3} + 1)^2} = 3$
Ответ: 3

в) Найдем значение выражения $\frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}$.
Упростим выражение в числителе. Для этого преобразуем $\sqrt[4]{24}$:
$\sqrt[4]{24} = \sqrt[4]{4 \cdot 6} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{2^2} \cdot \sqrt[4]{6} = 2^{2/4}\sqrt[4]{6} = 2^{1/2}\sqrt[4]{6} = \sqrt{2}\sqrt[4]{6}$.
Подставим это в числитель и вынесем общий множитель $\sqrt[4]{6}$ за скобки:
$(\sqrt{2}\sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6})^2 = (\sqrt[4]{6}(\sqrt{2} + 1))^2 = (\sqrt[4]{6})^2(\sqrt{2} + 1)^2$
Возведем в квадрат:
$\sqrt{6}((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} + 1^2) = \sqrt{6}(2 + 2\sqrt{2} + 1) = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2})$
Раскроем скобки: $3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}\sqrt{2} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{6} + 2 \cdot 2\sqrt{3} = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}$.
Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}$
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.
Ответ: 1

г) Найдем значение выражения $\frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2}$.
Рассмотрим числитель. Заметим, что $\sqrt{5} = (\sqrt[4]{5})^2$. Тогда числитель является полным квадратом разности:
$1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5} = 1 - 2\sqrt[4]{5} + (\sqrt[4]{5})^2 = (1 - \sqrt[4]{5})^2$.
Теперь преобразуем знаменатель. Упростим $\sqrt[4]{45}$:
$\sqrt[4]{45} = \sqrt[4]{9 \cdot 5} = \sqrt[4]{9}\sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{3^2}\sqrt[4]{5} = 3^{2/4}\sqrt[4]{5} = 3^{1/2}\sqrt[4]{5} = \sqrt{3}\sqrt[4]{5}$.
Подставим это в знаменатель и вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:
$(\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt[4]{5})^2 = (\sqrt{3}(1 - \sqrt[4]{5}))^2 = (\sqrt{3})^2(1 - \sqrt[4]{5})^2 = 3(1 - \sqrt[4]{5})^2$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$\frac{(1 - \sqrt[4]{5})^2}{3(1 - \sqrt[4]{5})^2} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$