Номер 36.30, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§36. Преобразование выражений, содержащих радикалы. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 36.30, страница 141.

36.30 Упростите выражение:

а) $\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2};$

б) $\frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2}{2(m - n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} - 3\sqrt{mn}.$

a) Упростим выражение $ \frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $ по действиям.

1. Сначала упростим первую дробь $ \frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} $.
Представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $ \sqrt{ab} = (ab)^{1/2} = a^{1/2}b^{1/2} $, $ \sqrt[4]{a} = a^{1/4} $, $ \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}} = \frac{(b^2)^{1/4}}{a^{1/4}} = \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} $.
Подставим эти выражения в дробь: $ \frac{a^{1/2}b^{1/2} \cdot a^{1/4}}{(a+b) \cdot \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}}} $
При делении на дробь мы умножаем на перевернутую дробь: $ \frac{a^{1/2}b^{1/2}a^{1/4}}{1} \cdot \frac{a^{1/4}}{(a+b)b^{1/2}} $
Упростим полученное выражение, используя свойства степеней ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $): $ \frac{a^{1/2+1/4+1/4} \cdot b^{1/2}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a^{1} \cdot b^{1/2}}{(a+b)b^{1/2}} $
Сократим $ b^{1/2} $: $ \frac{a}{a+b} $
2. Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $ \frac{a}{a+b} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $
Знаменатель второй дроби $ a^2 - b^2 $ является разностью квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $. $ \frac{a}{a+b} - \frac{a^2 + b^2}{(a-b)(a+b)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (a-b)(a+b) $: $ \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{a^2 + b^2}{(a-b)(a+b)} $
Выполним вычитание дробей: $ \frac{a(a-b) - (a^2 + b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2 - ab - a^2 - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-ab - b^2}{(a-b)(a+b)} $
Вынесем общий множитель $ -b $ в числителе: $ \frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)} $
Сократим дробь на $ (a+b) $: $ \frac{-b}{a-b} $, что можно записать как $ \frac{b}{b-a} $.

Ответ: $ \frac{b}{b-a} $

б) Упростим выражение $ \frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2}{2(m-n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} - 3\sqrt{mn} $ по действиям.

1. Упростим числитель первой дроби: $ (\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2 $.
Воспользуемся формулой $ (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2) $. Пусть $ x = \sqrt[4]{m} $ и $ y = \sqrt[4]{n} $. Тогда $ x^2 = (\sqrt[4]{m})^2 = \sqrt{m} $ и $ y^2 = (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt{n} $. Получаем: $ 2(\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.
2. Теперь упростим всю первую дробь: $ \frac{2(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{2(m-n)} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m-n} $
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $ m-n = (\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}) $: $ \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})} = \frac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} $
3. Выполним деление: $ \frac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} = \frac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} \cdot (\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}) = \frac{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} $
Числитель является разностью кубов: $ \sqrt{m^3} - \sqrt{n^3} = (\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 $.
Используем формулу разности кубов $ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) $: $ \frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})((\sqrt{m})^2 + \sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2)}{\sqrt{m}-\sqrt{n}} = (\sqrt{m})^2 + \sqrt{mn} + (\sqrt{n})^2 = m + \sqrt{mn} + n $
4. Выполним последнее действие вычитания: $ (m + n + \sqrt{mn}) - 3\sqrt{mn} = m + n - 2\sqrt{mn} $
Это выражение является полным квадратом разности: $ m - 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m})^2 - 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $.

Ответ: $ (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $